Satz über die Ausbreitung der Singularitäten

Unter dem Satz über die Ausbreitung der Singularitäten (Vorlage:EnS), auch Satz von Duistermaat-Hörmander, versteht man ein mathematisches Resultat aus der mikrolokalen Analysis, welches die Wellenfrontmenge $WF(u)$ der Distributionellen Lösung der partiellen (Pseudo-)Differentialgleichung

$Pu=f$

für einen Pseudodifferentialoperator $P$ auf einer glatten Mannigfaltigkeit charakterisiert. Es sagt, dass die Ausbreitung der Singularitäten entlang des bicharakteristischen Flusses des Hauptsymboles von $P$ folgt.

Das Theorem erschien 1972 in einem Werk über Fourier-Integraloperatoren von Johannes Jisse Duistermaat und Lars Hörmander und seither gibt es viele Verallgemeinerungen, welche unter dem Namen Ausbreitung der Singularitäten oder Propagation der Singularitäten geläufig sind.

Grundbegriffe

Notation:

• $X$ eine $C^{\mathrm{\infty }}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit und $C_0^{\mathrm{\infty }}(X)$ ist der Raum der glatten Funktionen $u$ mit einer kompakten Menge $K\subset X$, so dass $u{\mid }_{X\setminus K}=0$.
• $L_{\sigma ,\delta }^m(X)$ ist die Klasse der Pseudodifferentialoperatoren vom Typ $(\sigma ,\delta )$ mit Symbol $a(x,y,\theta )\in S_{\sigma ,\delta }^m(X\times X\times {ℝ}^n)$
• $S_{\sigma ,\delta }^m$ ist die Symbolklasse.
• $L_1^m(X):=L_{1,0}^m(X)$
• $D^{\prime }(X)=(C_0^{\mathrm{\infty }}(X){)}^{*}$ ist der Raum der Distributionen, der Dualraum von $C_0^{\mathrm{\infty }}(X)$.

Phasen-Funktion

Seien $X\in {ℝ}^{n_X}$ und $Y\in {ℝ}^{n_Y}$ offene Mengen. Eine Funktion $\varphi (x,y,\theta ):(X\times Y\times {ℝ}^N)\to ℝ$ nennt man reelle, positiv-homogene Funktion vom Grad $k\in ℝ$ in $\theta$, falls $\varphi (x,y,t\theta )=t^k\varphi (x,y,\theta )$ für jedes $x\in X,y\in Y,\theta \in {ℝ}^N$ und jedes $t>0.$

Falls $k=1$ und zusätzlich $\varphi \in C^{\mathrm{\infty }}(X\times Y\times {ℝ}^N\setminus \{0\})$ (glatt, außer wenn $\theta =0$), dann nennt man $\varphi$ eine Phasen-Funktion.

Fourier-Integraloperator

Sei $X,Y$ wie oben und $\varphi$ eine Phasen-Funktion. Wir nennen den Operator

$Au(x)=\int \int e^{i\varphi (x,y,\theta )}a(x,y,\theta )u(y)\mathrm{d}y\mathrm{d}\theta$

für $u\in C_0^{\mathrm{\infty }}(Y)$ und $x\in X$ einen Fourier-Integraloperator (FIO) mit Phasenfunktion $\varphi$ und Symbol $a(x,y,\theta )\in S_{\sigma ,\delta }^m(X\times Y\times {ℝ}^N)$ mit $\sigma >0,\delta <1$.

Pseudodifferentialoperator

Ein Fourier-Integraloperator heißt Pseudodifferentialoperator vom Typ $(\sigma ,\delta )$, falls $n_X=n_y=N:=n$ mit Phasenfunktion $\varphi (x,y,\theta )=⟨x-y,\theta ⟩\in X\times X\times {ℝ}^n$ und einem Symbol $a\in S_{\sigma ,\delta }^m(X\times X\times {ℝ}^n)$ ist. Mit $p_m(x,\xi )$ notieren wir sein Hauptsymbol.

Hamiltonsches System des Hauptsymbol

Sei $p_m(x(t),\xi (t))$ die Hamilton-Funktion, dann ist das hamiltonsche System auf $T^{*}X$ gegeben durch

$\{\begin{array}{c}\dot{\xi }(t)=-{\mathrm{\nabla }}_x{p}_m(x(t),\xi (t))\\ \dot{x}(t)={\mathrm{\nabla }}_{\xi }{p}_m(x(t),\xi (t)).\end{array}$

Eine Lösungs-Kurve des Systems nennt man Bicharakteristik von $p_m$ und den Fluss des hamiltonschen Vektorfeldes nennt man bicharakteristischer Fluss. Die Kurven mit $p_m(x(t),\xi (t))=0$ nennt man Null-Bicharakteristik und die Menge bezeichnen wir mit

$\mathrm{char}{p}_m:=\{(x,\xi )\in T^{*}(X)\setminus \{0\}:p_m(x(t),\xi (t))=0\}.$

Theorem

Sei $P$ ein eigentlich getragener Pseudodifferentialoperator der Klasse $L_1^m(X)$ mit reellem Hauptsymbol $p_m(x,\xi )$, welches homogen und vom Grad $m$ in $\xi$ ist. Sei $u\in D^{\prime }(X)$ eine Distribution, die die Gleichung $Pu=f$ löst, dann folgt

$WF(u)\setminus WF(f)\subset \mathrm{char}{p}_m$.

Des Weiteren ist $WF(u)\setminus WF(f)$ invariant unter dem durch $p_m$ induzierten hamiltonischen Fluss.

Literatur

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