Sasaki-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik sind Sasaki-Mannigfaltigkeiten oder Sasaki-Strukturen ein Begriff der Differentialgeometrie. Es handelt sich um Riemannsche Kontaktmannigfaltigkeiten mit einer gewissen Kompatibilitätsbedingung zwischen der Riemannschen Metrik und der Kontaktform.

Definitionen

Für eine Mannigfaltigkeit $M$ mit einer Riemannschen Metrik $g$ hat man auf $M\times (0,\mathrm{\infty })$ die Kegelmetrik $t^{2}g+d{t}^2$.

Für eine Mannigfaltigkeit $M$ mit einer Kontaktform $\alpha$ ist $t^{2}d\alpha +2tdt\wedge \alpha$ eine symplektische Form auf $M\times (0,\mathrm{\infty })$.

Eine Mannigfaltigkeit $M$ mit einer Riemannschen Metrik $g$ und einer Kontaktform $\alpha$ heißt Sasaki-Mannigfaltigkeit, wenn $M\times (0,\mathrm{\infty })$ eine Kähler-Mannigfaltigkeit mit Kähler-Metrik $t^{2}g+d{t}^2$ und Kähler-Form $t^{2}d\alpha +2tdt\wedge \alpha$ ist.

Beispiele

• Der ${ℝ}^{2n+1}$ mit Koordinaten $(x_1,y_1,\dots ,x_n,y_n,z)$ ist mit der Kontaktform $\alpha =\frac{1}{2}dz+{\sum }_{i=1}^n{y}_{i}d{x}_i$ und der Metrik ${\alpha }^2+{\sum }_{i=1}^{n}d{x}_i^2+d{y}_i^2$ eine Sasaki-Mannigfaltigkeit.
• Die Sphäre mit der Standardmetrik und der Standardkontaktform ist eine Sasaki-Mannigfaltigkeit. Ebenso ist der als Quotient der antipodalen $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-Wirkung erhaltene projektive Raum eine Sasaki-Mannigfaltigkeit.

Literatur

• Shigeo Sasaki, On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure, Tohoku Math. J. 2, 459–476 (1960).
• Charles Boyer, Krzysztof Galicki: Sasakian Geometry, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press (2008). ISBN 978-0-19-856495-9/hbk

Weblinks

• Sasakian manifold (Encyclopedia of Mathematics)
• Sasakian manifold (nLab)