Sacharow-System

Ein Sacharow-System (auch Sacharow-Gleichungen) ist ein System von nicht-linearen partiellen Differentialgleichungen, um die Ausbreitung von Langmuir-Wellen zu modellieren, letzteres sind Elektronen-Plasmawellen. Das System wurde 1972 von dem russischen mathematischen Physiker Wladimir Jewgenjewitsch Sacharow eingeführt.

Sacharow-System

Sei

• $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$ eine offene Menge,
• $T\subseteq {ℝ}_{+}$ ein Intervall,
• $\alpha >0$ eine Konstante.

Skalare Form

Gesucht sind zwei Lösungsfunktion $v(x,t):\mathrm{\Omega }\times T\to ℝ$ und $u(x,t):\mathrm{\Omega }\times T\to ℂ$, welche das Sacharow-System in skalarer Form lösen. $u$ beschreibt die komplexe Einhüllende des stark oszillierenden elektrischen Feldes und $v$ die Fluktuation der Ionendichte.

Das Sacharow-System ist

$\begin{array}{cc}i{\partial }_{t}u+{\mathrm{\Delta }}_{x}u& =uv\\ \frac{1}{{\alpha }^2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}v-{\mathrm{\Delta }}_{x}v& ={\mathrm{\Delta }}_x(|u{|}^2)\end{array}$

wobei ${\mathrm{\Delta }}_x$ der Laplace-Operator bezüglich $x$ ist.

Die untere Gleichung lässt sich mit dem D'Alembert-Operator $◻=\frac{1}{{\alpha }^2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}-{\mathrm{\Delta }}_x$ kürzer hinschreiben

$◻v={\mathrm{\Delta }}_x(|u{|}^2).$

Physikalische Herleitung

Eine physikalische Herleitung findet sich in () und ().

Literatur

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