s-Kobordismus-Satz

Der s-Kobordismus-Satz ist im mathematischen Teilgebiet der Kobordismustheorie ein wichtiges Resultat über die Trivialität von h-Kobordismen. Bewiesen wurde der s-Kobordismus-Satz unabhängig voneinander von Barry Mazur, John Stallings und Dennis Barden.

s-Kobordismen

Ein $n+1$-dimensionaler Kobordismus $(W,M,N,i,j)$ besteht aus einer $n+1$-dimensionalen topologischen bzw. stückweise linearen (PL) bzw. glatten Mannigfaltigkeit $W$, $n$-dimensionalen topologischen bzw. stückweise linearen (PL) bzw. glatten Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ sowie Einbettungen $i:M\hookrightarrow \partial W$ und $j:N\hookrightarrow \partial W$, sodass:

$\partial W=i(M)\bigsqcup j(N).$

s-Kobordismus-Satz

Ein h-Kobordismus $(W,M,N,i,j)$ mit $\dim (W)\ge 6$ und einer zusammenhängenden orientierbaren geschlossenen Mannigfaltigkeit $M$ (mit $\dim (M)\ge 5$) ist genau dann trivial, also sodass ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus $f:W\to M\times [0,1]$ mit $f\circ i=(\mathrm{id},0):M\hookrightarrow M\times [0,1]$ existiert, wenn die Whitehead-Torsion $\tau (W,M)\in \mathrm{Wh}({\pi }_1(M))$ verschwindet. Für jede Whitehead-Torsionsklasse $x\in \mathrm{Wh}({\pi }_1(M))$ existiert allgemeiner ein h-Kobordismus mit $\tau (W,M)=x$ und noch allgemeiner ist die Whitehead-Torsion eine Bijektion zwischen den Diffeomorphismusklassen von h-Kobordismen relativ $M$ zur Whitehead-Gruppe $\mathrm{Wh}({\pi }_1(M))$.

Die Whitehead-Gruppe der trivialen Gruppe ist selbst wieder trivial. Daher ist die Bedingung für die Trivialität der Whitehead-Torsion eines h-Kobordismus über einer zusätzlich einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit immer erfüllt und dieser daher nach dem s-Kobordismus-Satz selbst trivial. Dadurch folgt direkt der h-Kobordismus-Satz und der s-Kobordismus-Satz kann als Verallgemeinerung verstanden werden, die möglichen h-Kobordismen auch für nichtverschwindende Fundamentalgruppe vollständig zu klassifizieren.

Literatur

• Vorlage:Cite book

Weblinks

• s-cobordism und s-cobordism theorem auf nLab (englisch)