Rosette (Kurve)

Abbildung 1: Rosetten $r=\cos (n\phi ),n=2,3,4,5$

Abbildung 2: Rosetten $r=\cos (n\phi ),n=\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{3}{5}$

Abbildung 3: Rosette $r=\cos (5\phi )+c,c=0,1,0,3$

• 
  Foucaultsches Pendel
• 
  Abbildung 4: Rosette: $n=\pi ,0\le \phi \le 40\pi$

Abbildung 5: Rosetten $r=\cos (\phi \cdot n/d)$

Eine Rosette ist in der Geometrie eine ebene Kurve, die sich in Polarkoordinaten durch eine Gleichung

$r=a\cos (n\phi ),n=1,2,3,\dots ,a>0,$

beschreiben lässt, d. h. die zugehörige Parameterdarstellung ist

$x=a\cos (n\phi )\cos (\phi )$,

$y=a\cos (n\phi )\sin (\phi )$.

Falls

$n=1$ ist, ergibt sich der Kreis mit der Gleichung $(x-0,5{)}^2+y^2=0,25$,

$n=2$ ist, ergibt sich ein Quadrifolium (4-blättrige Rosette),

$n=3$ ist, ergibt sich ein Trifolium (3-blättrige Rosette),

$n=4$ ist, ergibt sich ein 8-blättrige Rosette,

$n=5$ ist, ergibt sich ein 5-blättrige Rosette.

Für

$n$ gerade ist die Rosette $2n$-blättrig.

$n$ ungerade ist die Rosette $n$-blättrig.

Bemerkung: Die Verwendung der Sinusfunktion statt der Kosinusfunktion bewirkt nur eine Drehung der Rosette.

Verallgemeinerungen

1. Lässt man für $n$ rationale Werte zu, so ergeben sich auch geschlossene Kurven (s. Abb. 2).
2. Für irrationale Werte von $n$ sind die Kurven nicht geschlossen (s. Abb. 4).
3. Addiert man zu $r$ eine Konstante: $r=a\cos (n\phi )+c$, ergeben sich Rosetten mit großen und kleinen Blütenblättern (s. Abb. 3).

Bemerkung: Das Foucaultsche Pendel beschreibt eine offene Rosettenkurve.

Flächeninhalt

Eine Rosette $r=a\cos (n\phi )$ besitzt den Flächeninhalt

$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(a\cos (n\phi ){)}^{2}d\phi =\frac{a^2}{2}(\pi +\frac{\sin (4n\pi )}{4n})=\frac{\pi a^2}{2}$

falls $n$ gerade ist, und

$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(a\cos (n\phi ){)}^{2}d\phi =\frac{a^2}{2}(\frac{\pi }{2}+\frac{\sin (2n\pi )}{4n})=\frac{\pi a^2}{4}$

falls $n$ ungerade ist.

Es besteht also ein einfacher Zusammenhang mit der Fläche des umgebenden Kreises mit Radius $a$.

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Rosetten zeichnen und als Vektorgrafik exportieren (Sinusdefinition)