Rosenbrock-Wanner-Verfahren

Die Rosenbrock-Wanner-Verfahren (oder ROW-Methoden, oft auch nur als Rosenbrock-Verfahren bezeichnet) sind in der Numerik spezielle Einschrittverfahren zur näherungsweisen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Sie sind benannt nach Howard H. Rosenbrock und Gerhard Wanner.

Bei den Einschrittverfahren besitzen bestimmte implizite Runge-Kutta-Verfahren für steife Anfangswertprobleme sehr gute Stabilitätseigenschaften, ihre praktische Durchführung erfordert aber wegen der Lösung von nichtlinearen Gleichungen einen hohen Rechenaufwand. Aus diesem Grund betrachtet man linear-implizite Verfahren wie die Rosenbrock-Wanner-Verfahren.

Verfahrens-Struktur

Wie bei Runge-Kutta-Verfahren besitzen die Verfahren $s$ verschiedene Stufen, welche die Lösung $y(t)$ des Systems $y^{\prime }(t)=f(t,y(t))$ an Zwischenstellen $t_n+h_n{c}_i,i=1,\dots ,s,$ eines Zeitschritts der Schrittweite $h=h_n$ approximieren. Im Unterschied zu Runge-Kutta-Verfahren sind aber nur lineare Gleichungssysteme zu lösen. Das Verfahren besitzt Koeffizientensätze $a_{ij},{\gamma }_{ij},b_i$, die Verfahrensgestalt ist

$(I-h{\gamma }_{ii}T)k_i=f(t_n+h{c}_i,y_n+h\sum _{j=1}^{i-1}{a}_{ij}{k}_j)+hT\sum _{j=1}^{i-1}{\gamma }_{ij}{k}_j+h{d}_i{f}_t(t_n,y_n),i=1,\dots ,s$

$y_{n+1}=y_n+h\sum _{i=1}^s{b}_i{k}_i$

In jeder Stufe ist also ein lineares $d\times d$-System zu lösen, wenn $f:ℝ\times {ℝ}^d\to {ℝ}^d$ ist. Die Matrix $T$ in den Stufensystemen ist die Jacobimatrix am Anfang des Zeitschritts, $T=f_y(t_n,y_n)$, zwischen den Verfahrenskoeffizienten fordert man die Beziehungen

$c_i=\sum _{j=1}^{i-1}{a}_{ij},d_i=\sum _{j=1}^i{\gamma }_{ij}.$

Wenn alle ${\gamma }_{ii}\equiv \gamma$ gleich sind, ist beim Gauß-Algorithmus die teure LR-Zerlegung nur einmal zu berechnen. Die Verfahren können ebenfalls durch ein (erweitertes) Butcher-Tableau

$\begin{array}{ccc}c& A& \mathrm{\Gamma }\\ & b& \end{array}$

beschrieben werden, wobei $A=(a_{ij})$ und $\mathrm{\Gamma }=({\gamma }_{ij})$ untere Dreieckmatrizen sind. Eine ursprüngliche Form der Verfahren ohne die Zusatzterme mit ${\gamma }_{ij},j<i$, geht auf H.H. Rosenbrock (1963) zurück, die vollständige Form wurde 1977 von G. Wanner eingeführt.

Konsistenz und Stabilität

Die ROW-Methoden lassen sich so interpretieren, dass man bei einem diagonal-impliziten Runge-Kutta-Verfahren genau einen Schritt des Newton-Verfahrens ausführt. Daher sind für ein Verfahren der Ordnung $p$ mindestens $s\ge p-1$ Stufen erforderlich. Bei geeigneter Wahl des Diagonalwerts $\gamma \equiv {\gamma }_{ii}$ existieren A-stabile Verfahren.

Beispiel-Verfahren

Das zwei-stufige Verfahren mit dem Tableau

$\begin{array}{ccccc}0& 0& & \gamma & 0\\ \frac{2}{3}& \frac{2}{3}& 0& -\frac{4}{3}\gamma & \gamma \\ & \frac{1}{4}& \frac{3}{4}& \end{array}$

und $\gamma =(1+1/\sqrt{3})/2$ besitzt Ordnung 3 und ist A-stabil. Es gibt eine effiziente ROW-Methode GRK4T von Kaps und Rentrop mit $s=4$ Stufen und Ordnung $p=4$, bei dem über ein eingebettetes Verfahren auch eine Schrittweitensteuerung möglich ist.

Verallgemeinerungen

Wenn man die Bedingung $T=f_y(t_n,y_n)$ fallen lässt, bekommt man sogenannte W-Methoden, bei denen man eine grobe Approximation $T$ der Jacobimatrix von $f$ verwenden kann, etwa indem man die LR-Zerlegung von $I-h\gamma T$ nicht in jedem Zeitschritt neu berechnet. Für diesen Typ existieren aber nur Verfahren geringer Ordnung.

Literatur

• E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff problems, Springer Verlag.
• E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff and Differential-Algebraic Problems. Second Revised Edition, Springer Verlag.
• K. Strehmel, R. Weiner, H. Podhaisky: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen – Nichtsteife, steife und differential-algebraische Gleichungen. Springer Spektrum, 2012.