Riemann-Zerlegung

Eine Riemann-Zerlegung ist ein Paar einer Familie von Stützstellen ${\xi }_0$ bis ${\xi }_{n(ℛ)}$ und Zwischenstellen ${\alpha }_1$ bis ${\alpha }_{n(ℛ)}$,

$ℛ=(({\xi }_j{)}_{j=0}^{n(ℛ)};({\alpha }_j{)}_{j=1}^{n(ℛ)})$

die ein Intervall $[a,b]$, folgendermaßen zerlegt:

$a={\xi }_0<{\xi }_1<\dots <{\xi }_{n(ℛ)}=b$ und ${\alpha }_j\in [{\xi }_{j-1},{\xi }_j],j=1,\dots ,n(ℛ)$

Das heißt die Randpunkte sind gleichzeitig die größte und die kleinste Stützstelle, und die Zwischenstellen liegen beliebig zwischen den Stützstellen.
Die Feinheit einer Riemann-Zerlegung ist dabei definiert als die maximale Differenz zweier aufeinanderfolgender Stützstellen:

$|ℛ|=\max \{({\xi }_j-{\xi }_{j-1}):j=1,\dots ,n(ℛ)\}$

Die Menge aller Riemann-Zerlegungen eines Intervalls wird durch die Relation $⪯$ zur gerichteten Menge:

${ℛ}_1⪯{ℛ}_2:\iff |{ℛ}_1|\le |{ℛ}_2|$

Über dieser gerichteten Menge lassen sich jetzt Netze definieren, zum Beispiel ist das Riemann-Integral über solch einem Netz definiert.

Siehe auch

Variation (Mathematik)