Richtungskosinus

Vektor $\overrightarrow{v}$ mit den Richtungswinkeln ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_3$.

In der Vektorrechnung sind die Richtungskosinus eines Vektors des euklidischen Raums ${ℝ}^3$ die Kosinuswerte seiner Richtungswinkel, also der Winkel zwischen dem Vektor und den drei Standardbasisvektoren ${\overrightarrow{e}}_1$, ${\overrightarrow{e}}_2$, ${\overrightarrow{e}}_3$.

Eigenschaften

Für den Vektor $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)$ sind die Richtungskosinus

$\cos {\alpha }_1=\frac{\overrightarrow{v}\cdot {\overrightarrow{e}}_1}{|\overrightarrow{v}||{\overrightarrow{e}}_1|}=\frac{v_1}{|\overrightarrow{v}|}=\frac{v_1}{\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}$,

$\cos {\alpha }_2=\frac{\overrightarrow{v}\cdot {\overrightarrow{e}}_2}{|\overrightarrow{v}||{\overrightarrow{e}}_2|}=\frac{v_2}{|\overrightarrow{v}|}=\frac{v_2}{\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}$,

$\cos {\alpha }_3=\frac{\overrightarrow{v}\cdot {\overrightarrow{e}}_3}{|\overrightarrow{v}||{\overrightarrow{e}}_3|}=\frac{v_3}{|\overrightarrow{v}|}=\frac{v_3}{\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}$,

wie auch aus den farbigen Dreiecken in der nebenstehenden Abbildung abgelesen werden kann. Umgekehrt kann $\overrightarrow{v}$ durch seinen Betrag und die Richtungskosinus ausgedrückt werden,

$\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}|\left(\begin{array}{c}\cos {\alpha }_1\\ \cos {\alpha }_2\\ \cos {\alpha }_3\end{array}\right)$.

Wenn dies durch $|\overrightarrow{v}|$ dividiert wird, zeigt sich, dass die Richtungskosinus gerade die Komponenten des Einheitsvektors ${\overrightarrow{e}}_v$ in Richtung von $\overrightarrow{v}$ sind,

${\overrightarrow{e}}_v=\frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}=\left(\begin{array}{c}\cos {\alpha }_1\\ \cos {\alpha }_2\\ \cos {\alpha }_3\end{array}\right)$.

Wegen $|{\overrightarrow{e}}_v|=1$ ist

${\cos }^2{\alpha }_1+{\cos }^2{\alpha }_2+{\cos }^2{\alpha }_3=1$.

Da die Richtungswinkel auf den Bereich zwischen $0$ und $\pi$ beschränkt sind und der Kosinus in diesem Intervall umkehrbar ist, sind mit den Richtungskosinus auch die drei Richtungswinkel gegeben.