Reidsche Ungleichung

Die reidsche Ungleichung ist eine mathematische Ungleichung aus dem Bereich der Operatorentheorie auf Hilberträumen. Sie wurde 1951 von William Thomas Reid bewiesen.

Formulierung

Seien $H$ ein Hilbertraum und $A,B$ stetige lineare Operatoren auf $H$, so dass gilt:

• $A$ ist ein positiver Operator, das heißt $⟨Ax,x⟩\ge 0$ für alle $x\in H$
• $AB$ ist selbstadjungiert, das heißt $⟨ABx,y⟩=⟨x,ABy⟩$ für alle $x,y\in H$.

Dann gilt $|⟨ABx,x⟩|\le \Vert B\Vert ⟨Ax,x⟩$ für alle $x\in H$.

Der Beweis kann mit elementaren Mitteln geführt werden, das heißt ohne Spektraltheorie oder Funktionalkalkül. Im Wesentlichen handelt es sich um eine geschickte Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung für die positiv semidefinite Sesquilinearform $(x,y)\to ⟨Ax,y⟩$ auf $H$.

Anwendung

• Sind die positiven Operatoren $A$ und $B$ vertauschbar, das heißt $AB=BA$, so ist auch $AB$ positiv.

Zum Beweis sei $I$ der identische Operator auf dem zu Grunde liegenden Hilbertraum. Ohne Einschränkung ist $\Vert B\Vert \le 1$. Dann ist auch $0\le I-B\le 1$ und daher $\Vert I-B\Vert \le 1$. Da $A$ auch mit $I-B$ vertauscht, ist $A(I-B)$ selbstadjungiert, und die reidsche Ungleichung liefert $⟨A(I-B)x,x⟩\le \Vert I-B\Vert ⟨Ax,x⟩\le ⟨Ax,x⟩$. Also ist $A-AB=A(I-B)\le A$, das heißt $AB\ge 0$.

Die Beweisführung dieses wichtigen Resultats mit Hilfe der reidschen Ungleichung erfordert nur elementare Hilfsmittel. Mit fortgeschrittener Theorie kann man dieses Ergebnis ebenso schnell erhalten. Dann betrachtet man die von $A$ und $B$ erzeugte C*-Algebra, die, da kommutativ, nach dem Satz von Gelfand-Neumark isomorph zu einer Algebra stetiger Funktionen auf einem lokalkompakten Hausdorffraum $X$ ist, und obige Anwendung reduziert sich auf die Tatsache, dass das Produkt zweier stetiger Funktionen $X\mapsto {ℝ}_0^{+}$ wieder eine solche Funktion ist.

Quellen

• W. T. Reid: Symmetrizable completely continuous linear transformations in Hilbert space, Duke Mathematical Journal, Band 18, Seiten 41–56, (1951)
• Harro Heuser: Funktionalanalysis, Teubner-Verlag, 1975