Ramanujansche Phi-Funktion

Phi-Funktion mit $n\to \mathrm{\infty }$

Die Ramanujan-Phifunktion $f:ℝ\times \mathbb{N}\to ℝ$ ist nach Srinivasa Ramanujan durch

$\phi (a,n)=1+2\sum _{k=1}^n\frac{1}{(ak{)}^3-ak}$

mit $a\in ℝ$, $a,k\ne 0$, $ak\ne \pm 1$ und $n\ge 1$ definiert.

Für die Reihe ergibt sich explizit:

$\phi (a,n)=1+2\frac{1}{a^3-a}+2\frac{1}{8a^3-2a}+2\frac{1}{27a^3-3a}+\dots +2\frac{1}{(an{)}^3-a\cdot n}$

Darstellung durch die harmonische Funktion

Sei die harmonische Funktion mithilfe der Funktion $H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=\gamma +{\psi }_0(n+1),n\ge 1$ definiert. Infolge kann die Ramanujan-Phifunktion dargestellt werden durch:

$\phi (a,n)=1-\frac{1}{a}(H_{-1/a}+H_{1/a}+2H_n-H_{n-1/a}-H_{n+1/a})$

Grenzwert

Sei $\phi (a)$ der Grenzwert der Ramanujan-Phifunktion für $n\to \mathrm{\infty }$. Vereinfacht gilt:

$\phi (a)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\phi (a,n)=1+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(ak{)}^3-ak}=-\frac{1}{a}({\psi }_0\left(\frac{1}{a}\right)+{\psi }_0(1-\frac{1}{a})+2\gamma )=1-\frac{1}{a}(H_{1/a}+H_{1/a})$.

Dabei ist ${\psi }_0$ die Digamma-Funktion und $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

Werte für die Ramanujan-Phifunktion

Funktionswerte der Ramanujan-Phifunktion für $1<A\le 6$:

a	$\phi (a)$
2	$2\ln (2)$
3	$\ln (3)$
4	$\frac{3}{2}\ln (2)$
5	$\frac{1}{5}\sqrt{5}\ln (\varphi )+\frac{1}{2}\ln (5)$
6	$\frac{1}{2}\ln (3)+\frac{2}{3}\ln (2)$

Dabei ist $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ der Goldene Schnitt.