Quotientenmodul

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein Quotientenmodul oder Faktormodul eine der grundlegenden Konstruktionen der Theorie der Moduln. Zu einem Modul $M$ und einem Untermodul $N\subseteq M$ ist der Quotientenmodul $M/N$ das im Wesentlichen eindeutig bestimmte Ziel eines surjektiven Homomorphismus $M\to M/N$ mit Kern $N$.

Quotientenmoduln sind das Analogon der Begriffe Faktorraum in der Theorie der Vektorräume sowie Faktorgruppe in der Gruppentheorie.

Definition

Es sei $A$ ein Ring. Zu einem $A$-(Links-)Modul $M$ und einem Untermodul $N\subseteq M$ ist der Quotientenmodul $M/N$ die Menge der Äquivalenzklassen von Elementen von $M$ nach der Äquivalenzrelation

$m_1\equiv m_{2}modN⟺m_1-m_2\in N$

mit der eindeutig bestimmten Modulstruktur, für die die kanonische surjektive Abbildung $M\to M/N$ ein Homomorphismus ist:

$a\cdot (m+N)=am+N,m\in M,a\in A$

$(m_1+N)+(m_2+N)=(m_1+m_2)+N,m_1,m_2\in M.$

Eigenschaften

• Isomorphiesätze: Für zwei Untermoduln $M,N$ eines Moduls $Q$ gilt

$M/(M\cap N)\cong (M+N)/N.$

Für Untermoduln $N\subseteq Q\subseteq P$ gilt

$(P/N)/(Q/N)\cong P/Q.$

• Es gibt eine kanonische Entsprechung zwischen Isomorphieklassen von Monomorphismen mit Ziel $M$ und Isomorphieklassen von Epimorphismen mit Quelle $M$; einem Monomorphismus $i:N\to M$ entspricht der Quotientenmodul $M/i(N)$, einem Epimorphismus $p:M\to Q$ der Untermodul $\ker p$.
• Ist ein Modul endlich erzeugt, oder hat er eine endliche Länge, so gilt dies auch für jeden Quotientenmodul.
• Ist $B$ eine (unitäre, assoziative) $A$-Algebra, so ist

$B{\otimes }_A(M/N)\cong (B{\otimes }_{A}M)/U;$

dabei steht $U$ für das Bild von $B{\otimes }_{A}N$ in $B{\otimes }_{A}M$.

• Ist $I$ ein (zweiseitiges) Ideal in $A$, so ist der Faktormodul $A/I$ dasselbe wie der Faktorring $A/I$.