Quaternionisch-hyperbolischer Raum

Der quaternionisch-hyperbolische Raum ist in der Mathematik ein mit Hilfe von Quaternionen definierter negativ gekrümmter symmetrischer Raum.

Definition

Seien $ℍ$ die Quaternionen und sei ${ℍ}^{n,1}$ der $ℍ$-Vektorraum ${ℍ}^{n+1}$ mit der Quaternionisch-hermiteschen Form

$⟨U,V⟩=-u_{n+1}{\bar{v}}_{n+1}+\sum _{j=1}^n{u}_j{\bar{v}}_j$

für $U=(u_1,\dots ,u_{n+1}),V=(v_1,\dots ,v_{n+1})$. (Hierbei ist die quaternionische Konjugation definiert durch $\overline{a+bi+cj+dk}:=a-bi-cj-dk$ für reelle Zahlen a,b,c,d.)

Der n-dimensionale quaternionisch-hyperbolische Raum $ℍH^n$ ist

$ℍH^n=\{X\in {ℍ}^{n,1}:⟨X,X⟩=-1\}$

mit der von der Hermiteschen Form $⟨.,.⟩$ induzierten Riemannschen Metrik.

Siegel-Modell

Eine äquivalente Definition erhält man mit dem Siegel-Modell. Hier benutzt man die quaternionisch-hermitesche Form $⟨U,V⟩={\bar{u}}_1{v}_{n+1}+{\bar{u}}_2{v}_2+\dots +{\bar{u}}_n{v}_n+{\bar{u}}_{n+1}{v}_1$, betrachtet das Bild von $V_{-}:=\{U\in {ℍ}^{n+1}:⟨U,U⟩<0\}$ unter der Projektion auf den projektiven Raum $\pi :{ℍ}^{n+1}\to P{ℍ}^n$ und definiert $ℍH^n:=\pi (V_{-})\subset P{ℍ}^n$.

Geometrie

$ℍH^n$ ist ein symmetrischer Raum vom Rang 1.

Für die Schnittkrümmung von Ebenen im $ℍH^n$ gilt die Ungleichung $-4\le K\le -1$. Ebenen in $ℝH^n\subset ℍH^n$ haben Schnittkrümmung $-1$, während die Ebene $ℂH^1\subset ℍH^1\subset ℍH^n$ die Schnittkrümmung $-4$ hat.

Isometrien und Quasi-Isometrien

Die Isometriegruppe des $ℍH^n$ ist $PSp(n,1)=Sp(n,1)/\{\pm 1\}$, dabei ist $Sp(n,1)$ die Lie-Gruppe

$Sp(n,1)=\{A\in GL(n+1,ℍ):⟨AU,AV⟩=⟨U,V⟩\mathrm{\forall }U,V\in {ℍ}^{n,1}\}=GL(n+1,ℍ)\cap U(2n,2)$.

Alle Quasi-Isometrien des $ℍH^n$ haben endlichen Abstand von einer Isometrie.

Quaternionisch-hyperbolische Mannigfaltigkeiten

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt quaternionisch-hyperbolisch, wenn ihre universelle Überlagerung isometrisch zum $ℍH^n$ ist.

Weblinks

• Jean-François Quint: An overview of Patterson-Sullivan theory pdf
• Gongopadhyay, Parsad: Classification of quaternionic hyperbolic isometries pdf