Quasi-Diedergruppe

In der Mathematik sind Quasi-Diedergruppen gewisse endliche nicht-abelsche Gruppen der Ordnung $2^n$, wobei $n\ge 4$ ist.

Definition

Eine Quasi-Diedergruppe ist eine Gruppe, die von zwei Elementen $a$ und $b$ der Form

$⟨a,b\mid a^{2^{n-1}}=b^2=1,bab=a^{2^{n-2}-1}⟩$

mit $n\ge 4$ erzeugt wird.

Anzahl Elemente

Aus $bab=a^{2^{n-2}-1}$ folgt wegen $b^2=1$, dass $ba=a^{2^{n-2}-1}b$. Also kann jedes endliche Produkt der Erzeuger $a$ und $b$ der Quasi-Diedergruppe durch Anwendung dieser Regel auf die Form $a^i{b}^j$ gebracht werden. Wegen $a^{2^{n-1}}=b^2=1$ folgt:

Die Quasi-Diedergruppe hat 2ⁿ Elemente: $\{1,a,a^2,\dots ,a^{2^{n-1}},b,ba,b{a}^2,\dots ,b{a}^{2^{n-1}}\}$

Beispiel

Die kleinste Quasi-Diedergruppe hat die Ordnung $16$ und wird von zwei Elementen $a$ und $b$ erzeugt, die die Gleichungen $a^8=b^2=1$ und $bab=a^3$ erfüllen. Da $b^2=1$, folgt aus der letzten Gleichung nach Rechtsmultiplikation mit $b$, dass $ba=a^{3}b$. Also kann man in einer beliebigen Folge von $a$'s und $b$'s jedes vor einem $a$ stehende $b$ hinter das $a$ bringen, wenn man dieses durch $a^3$ ersetzt. Daraus folgt dann, dass alle Elemente dieser Gruppe von der Form $1,a,a^2,\dots ,a^7,b,ab,\dots ,a^{7}b$ sind. Ferner lassen sich mit obigen Gleichungen sämtliche Multiplikationen in der Gruppe bestimmen. Als Beispiel betrachten wir die beiden Produkte aus $a^2$ und $a^{3}b$:

$a^2\cdot a^{3}b=a^{5}b$     (denn $a^2{a}^3=a^5$)

$a^{3}b\cdot a^2=a^3{a}^{3}ba=a^3{a}^3{a}^{3}b=a^{9}b=ab$     (zweimal $b$ nach rechts bringen und $a^8=1$ verwenden)

Insgesamt erhalten wir die folgende Verknüpfungstafel

$\cdot$	$1$	$a$	$a^2$	$a^3$	$a^4$	$a^5$	$a^6$	$a^7$	$b$	$ab$	$a^{2}b$	$a^{3}b$	$a^{4}b$	$a^{5}b$	$a^{6}b$	$a^{7}b$
$1$	$1$	$a$	$a^2$	$a^3$	$a^4$	$a^5$	$a^6$	$a^7$	$b$	$ab$	$a^{2}b$	$a^{3}b$	$a^{4}b$	$a^{5}b$	$a^{6}b$	$a^{7}b$
$a$	$a$	$a^2$	$a^3$	$a^4$	$a^5$	$a^6$	$a^7$	$1$	$ab$	$a^{2}b$	$a^{3}b$	$a^{4}b$	$a^{5}b$	$a^{6}b$	$a^{7}b$	$b$
$a^2$	$a^2$	$a^3$	$a^4$	$a^5$	$a^6$	$a^7$	$1$	$a$	$a^{2}b$	$a^{3}b$	$a^{4}b$	$a^{5}b$	$a^{6}b$	$a^{7}b$	$b$	$ab$
$a^3$	$a^3$	$a^4$	$a^5$	$a^6$	$a^7$	$1$	$a$	$a^2$	$a^{3}b$	$a^{4}b$	$a^{5}b$	$a^{6}b$	$a^{7}b$	$b$	$ab$	$a^{2}b$
$a^4$	$a^4$	$a^5$	$a^6$	$a^7$	$1$	$a$	$a^2$	$a^3$	$a^{4}b$	$a^{5}b$	$a^{6}b$	$a^{7}b$	$b$	$ab$	$a^{2}b$	$a^{3}b$
$a^5$	$a^5$	$a^6$	$a^7$	$1$	$a$	$a^2$	$a^3$	$a^4$	$a^{5}b$	$a^{6}b$	$a^{7}b$	$b$	$ab$	$a^{2}b$	$a^{3}b$	$a^{4}b$
$a^6$	$a^6$	$a^7$	$1$	$a$	$a^2$	$a^3$	$a^4$	$a^5$	$a^{6}b$	$a^{7}b$	$b$	$ab$	$a^{2}b$	$a^{3}b$	$a^{4}b$	$a^{5}b$
$a^7$	$a^7$	$1$	$a$	$a^2$	$a^3$	$a^4$	$a^5$	$a^6$	$a^{7}b$	$b$	$ab$	$a^{2}b$	$a^{3}b$	$a^{4}b$	$a^{5}b$	$a^{6}b$
$b$	$b$	$a^{3}b$	$a^{6}b$	$ab$	$a^{4}b$	$a^{7}b$	$a^{2}b$	$a^{5}b$	$1$	$a^3$	$a^6$	$a$	$a^4$	$a^7$	$a^2$	$a^5$
$ab$	$ab$	$a^{4}b$	$a^{7}b$	$a^{2}b$	$a^{5}b$	$b$	$a^{3}b$	$a^{6}b$	$a$	$a^4$	$a^7$	$a^2$	$a^5$	$1$	$a^3$	$a^6$
$a^{2}b$	$a^{2}b$	$a^{5}b$	$b$	$a^{3}b$	$a^{6}b$	$ab$	$a^{4}b$	$a^{7}b$	$a^2$	$a^5$	$1$	$a^3$	$a^6$	$a$	$a^4$	$a^7$
$a^{3}b$	$a^{3}b$	$a^{6}b$	$ab$	$a^{4}b$	$a^{7}b$	$a^{2}b$	$a^{5}b$	$b$	$a^3$	$a^6$	$a$	$a^4$	$a^7$	$a^2$	$a^5$	$1$
$a^{4}b$	$a^{4}b$	$a^{7}b$	$a^{2}b$	$a^{5}b$	$b$	$a^{3}b$	$a^{6}b$	$ab$	$a^4$	$a^7$	$a^2$	$a^5$	$1$	$a^3$	$a^6$	$a$
$a^{5}b$	$a^{5}b$	$b$	$a^{3}b$	$a^{6}b$	$ab$	$a^{4}b$	$a^{7}b$	$a^{2}b$	$a^5$	$1$	$a^3$	$a^6$	$a$	$a^4$	$a^7$	$a^2$
$a^{6}b$	$a^{6}b$	$ab$	$a^{4}b$	$a^{7}b$	$a^{2}b$	$a^{5}b$	$b$	$a^{3}b$	$a^6$	$a$	$a^4$	$a^7$	$a^2$	$a^5$	$1$	$a^3$
$a^{7}b$	$a^{7}b$	$a^{2}b$	$a^{5}b$	$b$	$a^{3}b$	$a^{6}b$	$ab$	$a^{4}b$	$a^7$	$a^2$	$a^5$	$1$	$a^3$	$a^6$	$a$	$a^4$

Siehe auch

• Diedergruppe
• Liste kleiner Gruppen

Literatur

• Bertram Huppert: Endliche Gruppen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 134, Vorlage:ISSN). Band 1. Springer, Berlin u. a. 1967, S. 90–93.