Proximum

Das Proximum (oder auch Bestapproximation) ist ein vor allem in der numerischen Mathematik verwendeter Begriff aus der Theorie der metrischen Räume. Das Proximum zu einem Punkt $x$ innerhalb einer $x$ nicht enthaltenden Menge $Y$ ist derjenige Punkt aus $Y$, der zu $x$ den geringsten Abstand hat.

Definition

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $Y\subset X$ eine Teilmenge und $x\in X$ beliebig. Der Abstand des Elements $x$ zur Teilmenge $Y$ wird mittels der Distanzfunktion $\mathrm{dist}$ definiert durch

$\mathrm{dist}(x,Y):=\underset{y\in Y}{\inf }d(x,y).$

Existiert nun ein $p\in Y$ mit:

$d(x,p)=\mathrm{dist}(x,Y)$

so nennt man $p$ Proximum oder Bestapproximation zu $x$ in $Y$.

Wenn ein Proximum existiert, so muss es nicht eindeutig sein.

Üblicherweise hat man es in der Approximationstheorie mit einem normierten Raum $(X,\Vert \cdot \Vert )$ zu tun. Ein Proximum $p$ zu $x\in X$ in $Y\subset X$ ist dann – falls existent – charakterisiert durch die Gleichung

$\Vert x-p\Vert =\underset{y\in Y}{\inf }\Vert x-y\Vert$

Zur Existenz eines Proximums

• Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. $A\subset X$ sei eine kompakte Teilmenge. Dann hat jedes $x\in X$ ein Proximum in $A$.

• Sei $(X,\Vert \cdot \Vert )$ ein normierter Raum. $V\subset X$ sei ein endlichdimensionaler Teilraum und $Y\subset V$ eine abgeschlossene Teilmenge. Dann hat jedes $x\in X$ ein Proximum in $Y$.

Eindeutigkeit des Proximums in Tschebyschow-Systemen

Sei $f\in C[a,b],U\subset C[a,b]$ ein Tschebyschow-System. Dann ist das Proximum für $f$ aus $U$ eindeutig bestimmt.

Sei $U$ ein endlichdimensionaler Unterraum von $C[a,b]$. Ist für jedes $f\in C[a,b]$ das Proximum aus $U$ eindeutig bestimmt, dann ist $U$ ein Tschebyschow-System.

Alternanten-Kriterium in Tschebyschow-Systemen

Sei $f\in C[a,b],U\subset C[a,b]$ ein $n$-dimensionales Tschebyschow-System. $u_0\in U$ ist genau dann ein Proximum für $f$ aus $U$, wenn es $n+1$ Stellen $x_i$ mit $a\le x_0<x_1<\cdots <x_n\le b$ gibt, so dass

• $|f(x_i)-u_0(x_i)|=\underset{x\in [a,b]}{\max }|f(x)-u_0(x)|$, $i=0,\dots ,n$ (Extremalpunkt)
• $\mathrm{sign}(f(x_{i-1})-u_0(x_{i-1}))=-\mathrm{sign}(f(x_i)-u_0(x_i))$, $i=1,\dots ,n$ (alternierend)

Dies folgt aus dem Kolmogorow-Kriterium aus der Approximationstheorie. Auf diesem Kriterium basiert der Remez-Algorithmus zur numerischen Bestimmung des Proximums in Tschebyschow-Systemen.

Proximum im Hilbertraum

Ist $X$ ein Hilbertraum und $Y\subset X$ eine abgeschlossene konvexe nichtleere Teilmenge, dann ist das Proximum eindeutig, das heißt, es existiert zu jedem $x\in X$ genau ein $p\in Y$ mit

$\Vert x-p\Vert \le \Vert x-y\Vert \mathrm{\forall }y\in Y$.

Ist $Y$ ein abgeschlossener Untervektorraum, so erhält man das Proximum $p$ als Orthogonalprojektion von $x$ auf $Y$.

Siehe auch

• Alternantensatz
• Minimallösung

Literatur

• Arnold Schönhage: Approximationstheorie. de Gruyter, Berlin 1971, ISBN 3-11-001982-5 (Vorlage:Google Buch).