Proendliche Starrheit

In der Mathematik heißt eine endlich erzeugte Gruppe $\mathrm{\Gamma }$ proendlich starr, wenn sie durch ihre proendliche Vervollständigung $\hat{\mathrm{\Gamma }}$ bereits eindeutig festgelegt ist, also wenn aus $\hat{\mathrm{\Delta }}\simeq \hat{\mathrm{\Gamma }}$ bereits $\mathrm{\Delta }\simeq \mathrm{\Gamma }$ folgt. Zum Beispiel sind endlich erzeugte abelsche Gruppen proendlich starr.

Ein eingeschränkterer Begriff von proendlicher Starrheit wird in der Topologie von 3-Mannigfaltigkeiten verwendet. Hier heißt eine kompakte orientierte 3-Mannigfaltigkeit $M$ proendlich starr wenn aus $\widehat{{\pi }_{1}M}\simeq \widehat{{\pi }_{1}N}$ für eine kompakte, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit $N$ stets ${\pi }_{1}M\simeq {\pi }_{1}N$ folgt. Dies ist beispielsweise der Fall für das Komplement des Achterknotens.

Literatur

• Alan Reid: Profinite rigidity. Proceedings of the international congress of mathematicians, ICM 2018, Rio de Janeiro, Brazil, August 1–9, 2018. Volume II. Invited lectures. Hackensack, NJ: World Scientific; Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). 1193-1216 (2018).
• Michel Boileau, Stefan Friedl: The profinite completion of 3-manifold groups, fiberedness and the Thurston norm. What’s next? The mathematical legacy of William P. Thurston. Princeton, NJ: Princeton University Press. Ann. Math. Stud. 205, 21-44 (2020).
• Martin Bridson, Alan Reid: Profinite rigidity, fibering, and the figure-eight knot. What’s next? The mathematical legacy of William P. Thurston. Princeton, NJ: Princeton University Press. Ann. Math. Stud. 205, 45-94 (2020).