Primitive Matrix

Primitivität von Matrizen ist ein Konzept der linearen Algebra, welches insbesondere in der Theorie der positiven Eigenwerte Anwendung findet, siehe etwa Satz von Perron-Frobenius.

Definition

Eine quadratische Matrix $X=(x_{ij}{)}_{i,j}$ heißt primitiv, wenn alle Einträge nichtnegativ sind und wenn es eine natürliche Zahl $n\in \mathbb{N}$ gibt, so dass alle Einträge von $X^n$ positiv sind.

Das kleinste solche $n\in \mathbb{N}$ wird als Exponent $\gamma (X)$ der primitiven Matrix bezeichnet.

Eigenschaften

• Primitive Matrizen sind irreduzibel.
• Wenn die $n\times n$-Matrix $A$ irreduzibel ist, dann ist $E_n+A$ (die Summe mit der Einheitsmatrix) eine primitive Matrix.
• Für den Exponenten einer primitiven Matrix $A$ gilt $\gamma (A)\le (m-1{)}^2+1$, wobei $m$ den Grad des Minimalpolynoms bezeichnet.

Beispiele

Die Matrix $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ ist irreduzibel, aber nicht primitiv. Die Matrix $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ ist primitiv.

Anwendungen

• Für primitive Matrizen gilt der Satz von Perron-Frobenius: der Spektralradius ist ein positiver, einfacher Eigenwert.
• Sei $A$ die Adjazenzmatrix eines Graphen. Dann ist $A$ genau dann primitiv, wenn der Graph zusammenhängend ist und es zwei Zykel teilerfremder Länge gibt.
• Primitive stochastische Matrizen sind in der Theorie der Markow-Ketten von Bedeutung.

Literatur

• E. Seneta: Non-negative matrices. An introduction to theory and applications. Halsted Press, New York, 1973.