Poröse-Medien-Gleichung

Die Poröse-Medien-Gleichung (auch englisch als porous medium equation bezeichnet) ist eine nichtlineare degenerierte parabolische partielle Differentialgleichung. Sie besitzt die Form

$\frac{\partial u}{\partial t}=\mathrm{\Delta }{u}^m$,

worin $m>1$ ist und $\mathrm{\Delta }:=\sum _{k=1}^n\frac{{\partial }^2}{\partial x_k^2}$ den räumlichen Laplace-Operator bezeichnet.

Die Poröse-Medien-Gleichung wird beispielsweise verwendet, um den Fluss eines idealen Gases in einem homogenen porösen Medium zu beschreiben. In diesem Falle ist dann die Dichte des Gases eine Lösung der Poröse-Medien-Gleichung.

Sie wird auch gelegentlich als nichtlineare Wärmeleitungsgleichung bezeichnet, da man diese bei Einsetzen von $m=1$ erhalten würde. Die Wärmeleitungsgleichung besitzt jedoch unphysikalische Eigenschaften, insbesondere eine unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit. Durch die Degeneriertheit ($m>1$) erhalten die Lösungen aber wesentlich andere Eigenschaften, nämlich beispielsweise eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit (englisch: finite speed of propagation).

Literatur

• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 1999, ISBN 0-8218-0772-2 (Graduate Studies in Mathematics 19).
• Juan Luis Vázquez: The Porous Medium Equation. Mathematical theory. Clarendon Press, Oxford 2007, ISBN 978-0-19-856903-9 (Oxford Mathematical Monographs).