Polytrope Zustandsänderung

In der Thermodynamik wird eine Zustandsänderung eines Systems, in der für Druck $p$ und spezifisches Volumen $v$ die Gleichung $p{v}^n=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$ gilt, als polytrop bezeichnet. Der Exponent $n$ wird Polytropenexponent genannt. Bei technischen Vorgängen kann der Polytropenexponent als konstant angesehen werden. Eine Polytrope nimmt im p-v-Diagramm die Form einer Potenzfunktion mit negativer Steigung an.

Sonderfälle der polytropen Zustandsänderung sind:

Spezialfälle der polytropen Zustandsänderung

• $n=0$ : isobar
• $n=1$ : isotherm
• $n=\mathrm{\infty }$ : isochor
• $n=\kappa =\frac{c_{\mathrm{p}}}{c_{\mathrm{v}}}$ : isentrop oder auch adiabat-reversibel

Die einem Gas während dieser Zustandsänderung zugeführte Wärme ist gegeben durch:

$Q_{12}=m{c}_{\mathrm{v}}\frac{n-\kappa }{n-1}(T_2-T_1)$

Dabei bezeichnet $m$ die Masse, $T_1$ und $T_2$ Anfangs- und Endtemperatur des Prozesses. Die Polytropie zeichnet sich durch eine feste Wärmekapazität aus, welche sich aus $c_{\mathrm{p}}$, $c_{\mathrm{v}}$ und $n$ ergibt.

Man spricht auch von polytroper Zustandsgleichung:

$p=K\cdot {\rho }^{\gamma }$

mit dem Druck p, der Dichte $\rho$, der Polytropenkonstante K und dem Polytropenindex m in $\gamma =1+\frac{1}{m}$. Sie findet zum Beispiel Anwendung in der Astrophysik (Lane-Emden-Gleichung).

Ideale Gase

Für ideale Gase, bei isentropen Zustandsänderungen, gelten außerdem folgende Beziehungen:

$\frac{T_2}{T_1}={\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{n-1}{n}}={\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{n-1}$ bzw.

$\frac{p_2}{p_1}={\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^{\frac{n}{n-1}}={\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^n$

mit

$T$: absolute Temperatur

$p$: Druck

$V$: Volumen.

Bei der isentropen Zustandsänderung eines idealen Gases gilt $n=c_{\mathrm{p}}/c_{\mathrm{v}}$. Mit der isobaren Wärmekapazität $c_{\mathrm{p}}$ und der isochoren Wärmekapazität $c_{\mathrm{v}}$. Bei zweiatomigen Gasen kann $n=1,403$ (beispielsweise Luft als Gasgemisch) und bei einatomigen Gasen (Edelgasen) $n=1,66$ angesetzt werden.

Literatur

• Dieter Winklmair - Energie- und Wärmetechnik (Skript, PDF) (1,08 MB)

Siehe auch

• Thermische Zustandsgleichung idealer Gase