Poisson-Approximation

Vergleich der Poisson-Verteilung (schwarze Linien) und der Binomialverteilung mit $n=10$ (rote Kreise), $n=20$ (blaue Kreise),$n=1000$ (grüne Kreise). Alle Verteilungen haben einen Erwartungswert von 5. Die horizontale Achse zeigt die Anzahl der eingetretenen Ereignisse $k$. Je größer $n$ wird, umso besser ist die Approximation der Binomialverteilung durch die Poisson-Verteilung.

Die Poisson-Approximation ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Möglichkeit, die Binomialverteilung und die verallgemeinerte Binomialverteilung für große Stichproben und kleine Wahrscheinlichkeiten durch die Poisson-Verteilung anzunähern. Durch den Grenzübergang nach unendlich erhält man dann die Konvergenz in Verteilung der beiden Binomialverteilungen gegen die Poisson-Verteilung.

Formulierung

Ist $(S_n)$ eine Folge binomialverteilter Zufallsvariablen mit Parametern $n\in \mathbb{N}$ und $p_n$, sodass für die Erwartungswerte $E(S_n)=n\cdot p_n\to \lambda >0$ für $n\to \mathrm{\infty }$ gilt, dann folgt

$P(S_n=k)=B_{n,p_n}(\{k\})\to \frac{{\lambda }^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\lambda }=P_{\lambda }(\{k\})$

für $n\to \mathrm{\infty }$.

Beweis-Skizze

Der Wert einer Poisson-verteilten Zufallsvariable an der Stelle $k$ ist der Grenzwert $n\to \mathrm{\infty }$ einer Binomialverteilung mit $p=\frac{\lambda }{n}$ an der Stelle $k$:

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(S_n=k)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!}{k!(n-k)!}{\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^k{(1-\frac{\lambda }{n})}^{n-k}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{{\lambda }^k}{k!}\right)\left(\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^k}\right){(1-\frac{\lambda }{n})}^n{(1-\frac{\lambda }{n})}^{-k}\\ & =\frac{{\lambda }^k}{k!}\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\to 1}{\underbrace{(\frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n}\cdots \frac{n-k+1}{n})}}\underset{\to e^{-\lambda }}{\underbrace{{(1-\frac{\lambda }{n})}^n}}\underset{\to 1}{\underbrace{{(1-\frac{\lambda }{n})}^{-k}}}\\ & =\frac{{\lambda }^k{\mathrm{e}}^{-\lambda }}{k!}.\end{array}$

Bei großen Stichproben und kleinem $p$ lässt sich folglich die Binomialverteilung gut durch die Poisson-Verteilung approximieren.

Die Darstellung als Grenzwert der Binomialverteilung erlaubt eine alternative Berechnung von Erwartungswert und Varianz der Poisson-Verteilung. Seien $X_1,\dots ,X_{n}n$ unabhängige bernoulliverteilte Zufallsvariablen mit $p=\lambda /n$ und sei $S_n:=X_1+\cdots +X_n$. Für $n\to \mathrm{\infty }$ gilt $S_n\sim P_{\lambda }$ und

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}(S_n)& =\mathrm{E}(X_1)+\cdots +\mathrm{E}(X_n)=\underset{n\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}}{\underbrace{\frac{\lambda }{n}+\cdots +\frac{\lambda }{n}}}=\lambda \to \lambda \\ \mathrm{Var}(S_n)& =\mathrm{Var}(X_1)+\cdots +\mathrm{Var}(X_n)\\ & =\underset{n\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}}{\underbrace{\frac{\lambda }{n}(1-\frac{\lambda }{n})+\cdots +\frac{\lambda }{n}(1-\frac{\lambda }{n})}}=\lambda (1-\frac{\lambda }{n})\to \lambda .\end{array}$

Güte der Approximation

Vorlage:Belege Für die Fehlerabschätzung gilt

$\sum _{k\ge 0}|B_{n,p}(\{k\})-P_{n\cdot p}(\{k\})|\le 2n{p}^2$.

Die Approximation einer Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen (bzw. einer binomialverteilten Zufallsvariable) ist also insbesondere für kleine $p$ gut. Als Faustregel gilt, dass die Approximation gut ist, wenn $n\ge 50$ und $p\le 0,05$ gilt. Ist $p\approx 0,5$, so ist die Normal-Approximation besser geeignet.

Le Cams Verallgemeinerung

Allgemeiner lässt sich Folgendes zeigen: Seien $X_1,\dots ,X_n$ stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit $P(X_i=1)=p_i=1-P(X_i=0)$ (jede Zufallsvariable ist also Bernoulli-verteilt), dann ist

$S:=\sum _{i=1}^n{X}_i$

verallgemeinert binomialverteilt. Definiere

$\lambda :=\sum _{i=1}^n{p}_i$,

dann gilt

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|P(S=k)-\exp (-\lambda )\frac{{\lambda }^k}{k!}|\le 2\sum _{i=1}^n{p}_i^2$.

Im Englischen ist dieses Resultat als „Ungleichung von Le Cam“ (Le Cam’s Inequality) bekannt.

Gilt $p_i=p_j$ für alle $1\le i,j\le n$, so ist $S$ binomialverteilt und das obige Ergebnis folgt sofort.

Beispiel

Ein Individuum einer Spezies zeugt $n=1000$ Nachkommen, die alle stochastisch unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von $p_i=0,001$ das geschlechtsreife Alter erreichen. Interessiert ist man nun an der Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder mehr Nachkommen das geschlechtsreife Alter erreichen.

Exakte Lösung

Sei $X_i=1$ die Zufallsvariable „Der $i$-te Nachkomme erreicht das geschlechtsreife Alter“. Es gilt $P(X_i=1)=p_i$ und $P(X_i=0)=1-p_i$ für alle $i$. Dann ist die Anzahl der überlebenden Nachkommen $S:=\sum _{i=1}^n{X}_i$ aufgrund der stochastischen Unabhängigkeit $B_{n,p}$-verteilt. Zur Modellierung definiert man den Wahrscheinlichkeitsraum $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$ mit der Ergebnismenge $\mathrm{\Omega }:=\{0,\dots ,n\}$, der Anzahl der überlebenden geschlechtsreifen Nachkommen. Die σ-Algebra ist dann kanonisch die Potenzmenge der Ergebnismenge: $\mathrm{\Sigma }:=𝒫(\mathrm{\Omega })$ und als Wahrscheinlichkeitsverteilung die Binomialverteilung: $P(\{k\}):=B_{n,p}(\{k\})$. Gesucht ist $P(S\ge 2)=1-P(S=1)-P(S=0)=1-B_{1000;0,001}(\{0\})-B_{1000;0,001}(\{1\})\approx 0,2642$. Es erreichen also mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 26 % mindestens zwei Individuen das geschlechtsreife Alter.

Approximierte Lösung

Da $n$ ausreichend groß und $p$ ausreichend klein ist, lässt sich die Binomialverteilung genügend genau mittels der Poisson-Verteilung annähern. Diesmal ist der Wahrscheinlichkeitsraum $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$ definiert mittels des Ergebnisraums $\mathrm{\Omega }:=\mathbb{N}$, der $\sigma$-Algebra $\mathrm{\Sigma }:=𝒫(\mathbb{N})$ und der Poisson-Verteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung $P(\{k\}):=P_{\lambda }(\{k\})=\frac{{\lambda }^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\lambda }$ mit dem Parameter $\lambda =n\cdot p=1$. Man beachte hier, dass die beiden modellierten Wahrscheinlichkeitsräume unterschiedlich sind, da die Poisson-Verteilung auf einem endlichen Ergebnisraum keine Wahrscheinlichkeitsverteilung definiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Individuen das geschlechtsreife Alter erreichen, ist also $P(S\ge 2)\approx 1-P_{\lambda }(\{1\})-P_{\lambda }(\{0\})=1-\frac{{\lambda }^1}{1!}{e}^{-1}-\frac{{\lambda }^0}{0!}{e}^{-1}\approx 0,2642$.

Bis auf vier Nachkommastellen stimmt also die exakte Lösung mit der Poisson-Approximation überein.

Weblinks

• Vorlage:EoM

• Vorlage:MathWorld

Literatur

• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur