Poincaré-Abbildung

Illustration der Wiederkehr einer Trajektorie nach $S$.

Die Poincaré-Abbildung (auch Poincaré map, first return map, nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré) ist eine mathematische Methode zur Untersuchung des Flusses eines kontinuierlichen n-dimensionalen dynamischen Systems. Dazu betrachtet man die Schnittpunkte einer Trajektorie mit einer (n-1)-dimensionalen transversalen Hyperfläche $\mathrm{\Sigma }$, dem Poincaré-Schnitt. Die Poincaré-Abbildung ist die Abbildung die jedem dieser Schnittpunkte $x$ den jeweils nächsten $P(x)$ zuordnet und ist somit ein (n-1)-dimensionales diskretes dynamisches System.

Beispiel

Datei:Poincareschnitt.jpg

Poincaré-Schnitt für eine periodische Trajektorie $\gamma$

Betrachte die Differentialgleichung $\dot{x}(t)=f(x(t))$ und bezeichne mit $\mathrm{\Phi }(t,x)$ den Fluss, also die Lösung zur Anfangsbedingung $\mathrm{\Phi }(0,x)=x$. Angenommen, es gibt eine periodische Trajektorie, also eine Lösung $\mathrm{\Phi }(t,p)$, die bei $p$ startet und nach einer bestimmten Zeit $\tau$ wieder dorthin zurückkehrt, $\mathrm{\Phi }(\tau ,p)=p$. Dann kann man eine Fläche $\mathrm{\Sigma }$ wählen, die transversal zur Trajektorie $\mathrm{\Phi }(t,p)$ ist und diese in $p$ schneidet. Alle Trajektorien, die in Punkten $x\in \mathrm{\Sigma }$ in der Nähe von $p$ starten, werden dann nach einer bestimmten Zeit wieder die Fläche schneiden. Es gibt also eine kleinste positive Zeit $\tau (x)>0$, für die $\mathrm{\Phi }(\tau (x),x)\in \mathrm{\Sigma }$ gilt. Dann ist die Poincaré-Abbildung gegeben durch $P(x)=\mathrm{\Phi }(\tau (x),x)$. Speziell für die periodische Trajektorie erhält man einen Fixpunkt: $P(p)=p$. Die Frage, ob die periodische Trajektorie stabil ist, ist nun äquivalent zur Frage, ob der entsprechende Fixpunkt der Poincaré-Abbildung stabil ist.

Anwendung

Die Poincaré-Abbildung ist besonders zur Untersuchung der geometrischen Strukturen chaotischer Attraktoren geeignet, da die zeitliche Diskretisierung eine wesentliche Vereinfachung darstellt.

In der Kardiologie findet die Darstellung bei der Auswertung eines Langzeit-EKGs Verwendung. Durch Anwendung auf die Abstände zwischen den jeweiligen Herzschlägen kann auf Herzrhythmusstörungen wie Vorhofflimmern rückgeschlossen werden.

Eine weitere Anwendung findet sich in der Stressforschung: hier lassen sich aus den Poincaré-Abbildungen mit den beiden orthogonal aufeinander stehenden Durchmessern SD1 und SD2 die parasympathischen und sympathischen Einflüsse auf die Herzfrequenz ablesen (Herzfrequenzvariabilität).

Literatur

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