Plancherel-Maß

In der Mathematik ist das Plancherel-Maß ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, welches auf der Menge $\hat{G}$ der irreduziblen Darstellungen $\pi$ einer lokalkompakte Gruppe $G$ definiert wird.

Das Plancherel-Maß auf halbeinfachen Lie-Gruppen ist ein von Harish-Chandra eingeführtes wichtiges Konzept der Darstellungstheorie von Gruppen.

Definition auf endlichen Gruppen

Sei $G^{\wedge }$ die Menge der irreduziblen Darstellungen $\pi$ einer endlichen Gruppe $G$. Das Plancherel-Maß auf $G^{\wedge }$ ist für eine Darstellung $\pi$ definiert als

$\mu (\pi )=\frac{(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\pi {)}^2}{|G|}.$

Definition auf halbeinfachen Lie-Gruppen

Sei $G$ eine reelle reduktive Gruppe. Betrachte die reguläre Darstellung (durch Links- und Rechtsmultiplikation) von $G\times G$ auf $H=L^2(G,{\mu }_G)$, also dem Vektorraum der bezüglich des Haarmaßes quadratisch integrierbaren Funktionen. Dann gibt es eine Integral-Zerlegung

$H=\underset{\hat{G}}{\int }{H}_{\omega }d{\mu }_{\hat{G}}(\omega ),$

wobei $\hat{G}$ die Dualgruppe (also die Gruppe der Äquivalenzklassen irreduzibler Darstellungen von $G$) und $H_{\omega }=\omega \otimes {\omega }^{*}$ ist.

Das durch diese Zerlegung auf der Dualgruppe $\hat{G}$ definierte Maß $d{\mu }_{\hat{G}}$ ist das Plancherel-Maß. Die Zerlegung und damit das Plancherel-Maß wurden explizit von Harish-Chandra beschrieben. Insbesondere bewies er, dass der Träger von $d{\mu }_{\hat{G}}$ im Unterraum der temperierten Darstellungen enthalten ist.

Literatur

• Harish-Chandra (1966), "Discrete series for semisimple Lie groups. II. Explicit determination of the characters", Acta Mathematica, 116 (1): 1–111