Pillaische Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine Pillaische Primzahl eine Primzahl $p$, für welche eine positive ganze Zahl $n>0$ existiert, sodass die Fakultät von $n$, also $n!$, um Eins kleiner ist als ein Vielfaches der Primzahl $p$. Die Primzahl selbst darf aber nicht um Eins größer sein als ein Vielfaches von $n$. Mit anderen Worten:

Es existiert ein $k_1\in \mathbb{N}$ mit $n!+1=k_1\cdot p$ und es muss $p-1=k_2\cdot n$ sein für alle $k_2\in \mathbb{N}$.

Mit Kongruenzen geschrieben bedeutet das:

Es muss $n!+1\equiv 0(\mathrm{mod}p)$   und   $p\equiv ̸1(\mathrm{mod}n)$ gelten.

Die dazugehörigen Zahlen $n\in \mathbb{N}$ nennt man EHS-Zahlen.

Die Pillai-Primzahlen wurden nach dem Mathematiker Subbayya Sivasankaranarayana Pillai benannt, der sich als erstes mit diesen Zahlen beschäftigte, indem er sich fragte, ob es wahr ist, dass jeder Primteiler $p\in \mathbb{P}$ von $n!+1$ von der Form $p=k\cdot n+1$ ist.

Beispiele

• Die Zahl $p=137$ ist eine Pillai-Pimzahl, weil gilt:

Mit $n=16$ und $k=152721094073$ gilt: $n!+1=16!+1=20922789888001=152721094073\cdot 137=k_1\cdot p$ und es ist auch tatsächlich $p-1=137-1=136=k_2\cdot 16=k_2\cdot n$ für alle $k_2\in \mathbb{N}$.

• Die ersten Pillai-Primzahlen sind die folgenden:

23, 29, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 109, 137, 139, 149, 193, 227, 233, 239, 251, 257, 269, 271, 277, 293, 307, 311, 317, 359, 379, 383, 389, 397, 401, 419, 431, 449, 461, 463, 467, 479, 499, 503, 521, 557, 563, 569, 571, 577, 593, 599, 601, 607, 613, 619, 631, 641, 647, 661, 673, … (Vorlage:OEIS)

• Die ersten EHS-Zahlen sind die folgenden:

8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, …

Die kleinsten zu obiger Liste dazugehörenden $p\in \mathbb{P}$ (es gibt mehrere) sind die folgenden:

61, 71, 83, 23, 59, 61, 661, 23, 71, 521, …

Beispiel: Den beiden obigen Listen kann man jeweils an der 7. Stelle die EHS-Zahl $n=17$ und die Primzahl $p=661$ entnehmen. Und tatsächlich ist $n!+1=17!+1=355687428096001=538105034941\cdot 661=k_1\cdot p$ und es ist auch tatsächlich $p-1=661-1=660=k_2\cdot 17=k_2\cdot n$ für alle $k_2\in \mathbb{N}$.

Eigenschaften

• Es gibt unendlich viele Pillai-Primzahlen.
• Es gibt unendlich viele EHS-Zahlen.

Ungelöste Probleme

Die folgenden ungelösten Probleme werden in aufgeworfen:

• Sei $\pi (x)$ die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich $x$ und $\pi (𝒫,x)$ die Anzahl der Pillai-Primzahlen kleiner oder gleich $x$.

Ist $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (𝒫,x)}{\pi (x)}=1$?

• Sei $f(x)$ die Anzahl der EHS-Zahlen kleiner oder gleich $x$.

Existiert $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{x}$?

Wenn ja, gegen welche Wert geht dieser Limes?

Es ist $\frac{f(100)}{100}\approx 5,5$ und $\frac{f(200)}{200}\approx 5,25$ und $\frac{f(300)}{300}\approx 5,7$ und $\frac{f(400)}{400}\approx 5,45$ und $\frac{f(500)}{500}\approx 4,98$.

Es könnte sein, dass der Limes $0,5$ beträgt, falls er existiert.

Weblinks

• Vorlage:PlanetMath
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Quellen

• Vorlage:Literatur
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