Periodogramm

Das Periodogramm ist ein Schätzer für die spektrale Leistungsdichte eines Signals. Gesucht ist also eine Funktion $P\left(\omega \right)$, welche die Verteilung der Leistung (oder Energie) des Signals auf die Kreisfrequenz $\omega$ angibt. Der Ausdruck wurde von Arthur Schuster 1898 geprägt. Die Methode wird eingesetzt in der Signalverarbeitung, Elektrotechnik, Physik und Ökonometrie. Ein wichtiges Beispiel sind Spektrum-Analysatoren.

Im mathematischen Sinn ist das Periodogramm ein nicht konsistenter Schätzer, siehe auch Spektraldichteschätzung.

Ein Leistungsdichtespektrum (Amplitudenquadrat) zweier Sinus-Basisfunktionen als Funktion der Frequenz.

Kontext und Konventionen

In der Regel sind nur Abtastwerte des Signals $f\left(t\right)$ zu diskreten Zeitpunkten $t_n=nT$ mit konstanter Abtastdauer $T$ gegeben, und man beschränkt sich zur Abschätzung auf $N$ Abtastwerte, z. B. $f\left(t_n\right)$ mit $0\le n<N$, d. h. auf ein Zeitintervall der Dauer $NT$.

Ein wesentlicher Schritt des Verfahrens ist eine diskrete Fourier-Transformation. Die Einschränkung der Fourier-Transformation auf ein Zeitintervall der Dauer $NT$ lässt sich erreichen durch Multiplikation des Signals mit einer Fensterfunktion $w\left(t\right)$. Im einfachsten Fall ist $w\left(t\right)$ eine Rechteckfunktion der Breite $NT$.

Um Artefakte im Spektrum (aufgrund der Unstetigkeiten des Rechteckfensters) zu verringern, werden jedoch in der Regel Fenster mit langsameren Änderungen und eigenen Bezeichnungen verwendet, z. B. das Parzen-Fenster oder das „Welch-Fenster“. Man spricht dann von einem modifizierten Periodogramm.

Für die diskrete Fouriertransformierte des Signals $f\left(t\right)w\left(t\right)$ wird die Schreibweise $F^{\left(w\right)}\left({\omega }_m\right)=\sum _{n}f\left(t_n\right)w\left(t_n\right)e^{i{\omega }_m{t}_n}$ verwendet. Hierbei sind nur Kreisfrequenzen ${\omega }_m=2\pi m/(NT)$ mit $0\le m<N$ zulässig.

Definition

Das Periodogramm ist definiert gemäß

$P^{\left(w\right)}\left(\omega \right)=\frac{{\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|}^2}{\sum _{n=0}^{N-1}w{\left(t_n\right)}^2}.$

In Übereinstimmung mit dem Abtasttheorem ist das Periodogramm $2\pi /T$-periodisch. Man beschränkt sich daher auf ein Intervall (Brillouin-Zone) $0\le \omega \le 2\pi /T$ oder $-\pi /T\le \omega \le \pi /T$.

Den Normierungsfaktor betreffend gibt es verschiedene Konventionen. Eine wichtige Kenngröße hierbei ist das mittlere Amplitudenquadrat $⟨A^2⟩=\frac{1}{N}\sum _n{\left|f\left(t_n\right)\right|}^2$ (die mittlere Leistung) des Signals. Die Normierung ist so gewählt, dass der Mittelwert von $P^{\left(w\right)}\left(\omega \right)$ bestmöglich mit $⟨A^2⟩$ übereinstimmt.

Falls die Amplitude des Signals digitalisiert ist und Maximalwert $A$ hat, ist das Periodogramm auch relativ zum Maximum normierbar (Fullscale). Das Maximum wird für monochromatische Signale $f=A{e}^{-i\omega t}$ erreicht, das Full-Scale Periodogramm ist

$P_{FS}^{\left(w\right)}\left(\omega \right)=\frac{{\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|}^2}{{\left(\sum _{n=0}^{N-1}w\left(t_n\right)\right)}^2}.$

Beispiele

Weißes Rauschen

Es sei $f\left(t\right)$ ein weißes Rauschen mit Varianz $⟨A^2⟩$, $⟨f\left(t_m\right)f^{*}\left(t_n\right)⟩={\delta }_{m,n}⟨A^2⟩$. Das Ensemble-Mittel des Betragsquadrats der Fourier-Transformierten ist dann

$⟨{\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|}^2⟩=⟨A^2⟩\sum _{m,n}{e}^{i\omega (t_m-t_n)}{\delta }_{m,n}w\left(t_m\right)w\left(t_n\right)=⟨A^2⟩\sum _{n}w{\left(t_n\right)}^2.$

Das Periodogramm hat den Mittelwert $⟨A^2⟩$, und zwar unabhängig von der Fensterlänge. Alle Frequenzen geben denselben Energiebeitrag.

Konstantes Signal

Für den Frequenz-Mittelwert von ${\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|}^2$ lassen sich allgemeine Aussagen machen. Ausgangspunkt ist

$\sum _{\omega }{\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|}^2=\sum _{\omega }\sum _{t,t^{\prime }}{e}^{i\omega (t-t^{\prime })}f\left(t\right)w\left(t\right)f^{*}\left(t^{\prime }\right)w\left(t^{\prime }\right)=N\sum _t{\left|f\left(t\right)\right|}^2{w}^2\left(t\right).$

Für konstantes Signal $f\left(t\right)=A$ wird

$\sum _{\omega }{\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|}^2=N⟨A^2⟩\sum _t{w}^2\left(t\right).$

Der Mittelwert des Periodogramms ist (unabhängig von $N$) ebenfalls $⟨A^2⟩$. Das Periodogramm liefert bei konstantem Signal einen Peak bei Frequenz $0$. Mit wachsendem $N$ wird dieser Peak höher und schmäler.

Rechteck-Fenster

Im Fall eines Rechteck-Fensters $w=1$ gilt die Parseval-Gleichung $\sum _{\omega }{\left|F\left(\omega \right)\right|}^2=N^2⟨A^2⟩$. Durch Division durch $N^2$ folgt der Mittelwert des Periodogramms $\sum _{\omega }P\left(\omega \right)/N=⟨A^2⟩$. Dieser Wert ist von $N$ unabhängig, sofern dies für das mittlere Amplitudenquadrat $⟨A^2⟩$ gilt.

Einschränkungen und Verbesserungen

Die Zahl der Werte im Periodogramm wächst mit der Fensterlänge $N$, die Werte werden dabei jedoch nicht genauer. Im Fall eines weißen Rauschens mit Amplitude $A$ bleibt die Varianz der Periodogramm-Werte bei wachsender Fensterlänge von der Größenordnung $A^4$. Abhilfe schafft eine Mittelung benachbarter Werte oder eine Mittelung über mehrere Periodogramme.

Kontinuierliches Signal

Für ein auf dem Zeit-Kontinuum definiertes Signal $f(t)$ ist die Fourier-Transformierte des Produktes von Signal und Fensterfunktion

$F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(t\right)w\left(t\right)e^{i\omega t}dt.$

Das Periodogramm ist

$P^{\left(w\right)}\left(\omega \right)=\frac{{\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|}^2}{T\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{w}^2\left(t\right)dt}.$

Wie beim abgetasteten Signal bleibt die Standardabweichung der Periodogramm-Werte bei wachsender Zeitreihenlänge $T$ im ungünstigsten Fall von derselben Größenordnung wie die Werte selber.