Parametertransformation

Als Parametertransformation wird in der Analysis eine stetige und streng monotone Abbildung bezeichnet, die den Parameter eines Weges ändert.

Formale Definition

Sind ${\gamma }_1:[a,b]\to {ℝ}^n$ und ${\gamma }_2:[\alpha ,\beta ]\to {ℝ}^n$ zwei Wege und ist $f:[a,b]\to [\alpha ,\beta ]$ eine stetige und streng monotone Funktion mit

${\gamma }_1(t)={\gamma }_2(f(t))$ für alle $t\in [a,b]$, also ${\gamma }_1={\gamma }_2\circ f$,

so nennt man $f$ eine Parametertransformation. Man nennt ${\gamma }_1$ dann auch eine Umparametrisierung von ${\gamma }_2$ mittels $f$.

Ist $f$ streng monoton wachsend, so wird die Parametertransformation orientierungstreu genannt. Falls die Parametertransformation $f$ streng monoton fallend ist, wird sie orientierungsumkehrend genannt.

Wenn $f$ und die Umkehrfunktion $f^{-1}$ stetig differenzierbar sind, dann nennt man $f$ eine $C^1$-Parametertransformation.

Eigenschaften

• Durch die Parametertransformation ändert sich der Weg, nicht jedoch die zugehörige Kurve.
• Der Weg ${\gamma }_1$ ist genau dann rektifizierbar, wenn ${\gamma }_2$ rektifizierbar ist. In diesem Fall sind die Weglängen von ${\gamma }_1$ und ${\gamma }_2$ gleich.

Literatur

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