Ordnungsmuster

Das Ordnungsmuster oder ordinales Muster einer Folge von Werten beschreibt das Auf und Ab der Werte in der Folge. So erhält man z. B das Ordnungsmuster der Folge (4,6,2) wie folgt: Das größte Element, 6, steht an der zweiten, das nächstkleinere, 4, an der ersten, und das kleinste Element, 2, an der dritten Stelle – daher ist das Ordnungsmuster dieser Folge (2,1,3). Dieses Vorgehen hat eine Bedeutung in der Informationstheorie, der dynamischen Symbolisierung von Zeitreihen und einer darauf aufbauenden Zeitreihenanalyse.

Definition

Ein Vektor $(v_1,...,v_d)\in {ℝ}^d$ hat das Ordnungsmuster $(r_1,...,r_d)\in {\mathbb{N}}^d$, falls $v_{r_1}\ge v_{r_2}\ge ...\ge v_{r_d}$ und $r_{l-1}>r_l$, falls $v_{r_{l-1}}=v_{r_l}$.

Beispiel

Gegeben sei die Folge $(3,8,6,1,5,3,9)$. Dann ist $r_1=7$ (weil das größte Element der Folge, die 9, an der letzten, der siebten Stelle der Folge steht und somit Rang 1 besitzt, der Größe nach absteigend). Weiter ist $r_2=2$,$r_3=3$, $r_4=5$. Das nächstkleinere Element, die 3, gibt es zweimal in der Folge, also kommt $r_5=1$ oder $r_5=6$ in Betracht. Wegen 6 > 1 gilt nach dem zweiten Teil der obigen Definition $r_5=6$ und $r_6=1$. Weiter gilt $r_7=4$, weil die 1, das kleinste Element der gegebenen Folge, an vierter Stelle steht. Das Ordnungsmuster der ursprünglichen Folge ist also $(7,2,3,5,6,1,4)$.

Natürlich gibt es viele verschiedene Folgen, die dasselbe Ordnungsmuster haben: So ist z. B.das Ordnungsmuster der Folge $(34,230,187,15,38,34,255)$ auch wie beim obigen Beispiel $(7,2,3,5,6,1,4)$.