Ordnungsisomorphismus

Ein Ordnungsisomorphismus ist ein Begriff aus der Ordnungstheorie, einem Teilbereich der Mathematik. Er ermöglicht das eindeutige Übertragen von Kleiner-gleich-Relationen zwischen Mengen.

Definition

Sind zwei Halbordnungen $(G,{\le }_G)$ und $(H,{\le }_H)$ gegeben, so heißt eine Abbildung

$\psi :G\to H$

ein Ordnungsisomorphismus, wenn $\psi$ eine bijektive isotone Abbildung ist, deren Umkehrabbildung ${\psi }^{-1}$ ebenfalls eine isotone Abbildung ist.

Existiert zwischen $G$ und $H$ ein Ordnungsisomorphismus, so lässt sich die Existenz auch mit $G\cong H$ ausdrücken und $G$ und $H$ werden als ordnungsisomorph bezeichnet. Bildet ein Ordnungsisomorphismus eine Menge auf sich selbst ab, so ist er ein Automorphismus und wird auch Ordnungsautomorphismus genannt.

Beispiele

• Die identische Abbildung ${\mathrm{id}}_G:G\to G,a\mapsto a$ einer jeden Halb- / Totalordnung ist zugleich auch ein Ordnungsautomorphismus.
• Zwischen beschränkten offenen und beschränkten halboffenen oder abgeschlossenen Intervallen lässt sich kein Ordnungsisomorphismus erklären, denn die letzteren haben kleinste und/oder größte Elemente, die ersteren nicht.
• Sei $g$ eine Funktion, die von $\mathbb{N}$ in die Menge aller Quadratzahlen $Q$ abbildet:
  $Q=\{n^2\mid n\in \mathbb{N}\}\subset \mathbb{N}$
  Die Funktion lautet neu: $g:\mathbb{N}\to Q,x\mapsto x^2$
  Von dieser neuen Funktion $g$ existiert auch eine Umkehrfunktion: $g^{-1}:Q\to \mathbb{N},x\mapsto \sqrt{x}$
  Somit ist $g$ bijektiv. Weil $g$ bijektiv und isoton ist und weil die Ordnungen $(\mathbb{N},\le )$ und $(Q,\le )$ total sind, so ist $g$ auch ein Ordnungsisomorphismus.
• Die identische Abbildung ${\mathrm{id}}_{ℝ}:ℝ\to ℝ,x\mapsto x$ ist eine bijektive antitone Abbildung zwischen $(ℝ,\le )$ und $(ℝ,\ge )$.
• Die Funktion des additiv inversen Elementes $f:M\to M,x\mapsto -x$ ist eine Involution und damit auch eine Bijektion. $f$ ist eine antitone Abbildung von $(M,\le )$ in sich selbst und außerdem eine isotone Abbildung von $(M,\le )$ nach $(M,\ge )$. Des Weiteren ist $f$ gar ein Ordnungsisomorphismus, da die Ordnungsrelationen Totalordnungen sind und da $f$ bijektiv ist. Dies trifft unter anderem zu für die ganzen Zahlen $M=\mathbb{Z}$, die rationalen Zahlen $M=\mathbb{Q}$ und für die reellen Zahlen $M=ℝ$ zu.
• Die Komponentenweise-kleiner-oder-gleich-Relation auf beliebigen n-Tupeln $(a_1,\cdots ,a_n){\le }^n(b_1,\cdots ,b_n):⟺\mathrm{\forall }i\in [1,n]\cap \mathbb{N}:a_i\le b_i$ bildet für $n\ge 2$ eine echte Halbordnung, die das Totalitätskriterium nicht erfüllt. Die Funktion $\mathrm{\Psi }:{ℝ}^2\to {ℝ}^2,(x,y)\mapsto (2x,2y)$ ist offensichtlich bijektiv, die Umkehrfunktion lautet ${\mathrm{\Psi }}^{-1}:{ℝ}^2\to {ℝ}^2,(x,y)\mapsto (\frac{x}{2},\frac{y}{2})$. Auf $({ℝ}^2,{\le }^2)$ ist außerdem sowohl $\mathrm{\Psi }$ als auch ${\mathrm{\Psi }}^{-1}$ isoton, was $\mathrm{\Psi }$ und ${\mathrm{\Psi }}^{-1}$ als Ordnungsisomorphismen – genauer gesagt als einen Ordnungsautomorphismen, denn sowohl die Definitions- als auch die Zielmengen sind ${ℝ}^2$, – auszeichnet.

Komposition

Sei $f:U\to V$ ein Ordnungsisomorphismus zwischen $(U,{\le }_U)$ und $(V,{\le }_V)$ und sei $g:V\to W$ ein Ordnungsisomorphismus zwischen $(V,{\le }_V)$ und $(W,{\le }_W)$, so ist auch $f\circ g:U\to W$ ein Ordnungsisomorphismus und zwar zwischen $(U,{\le }_U)$ und $(W,{\le }_W)$. Durch die Eigenschaft – dass es sich um Ordnungsisomorphismen handelt – ist garantiert, dass die Abbildungen bijektiv sind, womit auch die durch Komposition entstandene Funktion bijektiv sein muss. Durch die Bijektivität wird ebenfalls garantiert, dass das Bild von $f$ gleich der Zielmenge von $f$ ist.

Eigenschaften

• Es gilt wegen der Bijektivität, dass

$\mathrm{\forall }a\in G:a={\psi }^{-1}(\psi (a))$

gilt und ebenso:

$\mathrm{\forall }a\in H:a=\psi ({\psi }^{-1}(a))$

• Sind $(G,{\le }_G)$ und $(H,{\le }_G)$ Totalordnungen und existiert eine isotone Bijektion $\gamma :G\to H$, so ist diese automatisch auch ein Ordnungsisomorphismus, bzw. ${\gamma }^{-1}$ ist auch isoton.
• Es lässt sich zeigen, dass jede endliche Menge ordnungsisomorph zu der Menge natürlicher Zahlen bis zur Mächtigkeit der Menge ist. Formal:

$(M,{\le }_M)\cong (\{1,\dots ,\left|M\right|\},\le )$.

Literatur

• Rudolf Berghammer: Ordnungen, Verbände und Relationen mit Anwendungen. Springer+Vieweg, 2. Auflage 2012, ISBN 978-3-658-00618-1