Operatorassoziativität

Operatorassoziativität bezeichnet vor allem in der Informatik, aber auch Mathematik und Logik die Festlegung, wie komplexere Ausdrücke mit infix-Operatoren, die für zweistellige Operationen stehen, die nicht unbedingt assoziativ sind, zu lesen sind.

Zum Beispiel sind in der Mathematik die Addition und Multiplikation, die üblicherweise mit $+$ bzw. $\cdot$ notiert werden, assoziative Operationen, es gilt also $(a+b)+c=a+(b+c)$ bzw. $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$, ebenso wie in der Logik die Konjunktion $(\wedge )$ und Disjunktion $(\vee )$. Hier ist es gleichgültig, ob $a+b+c$ als $(a+b)+c$ oder als $a+(b+c)$ interpretiert wird.

Bei nicht assoziativen Operationen, wie etwa der Subtraktion (infix notiert durch „–“), gilt $a-(b-c)=(a-b)-c$ nicht allgemein, und daher muss festgelegt werden, ob Ausdrücke wie $a-b-c$ überhaupt erlaubt sind, und, falls sie erlaubt sind, welche Klammerung implizit vorliegen soll. Wird festgelegt, dass „–“ linksassoziativ ist, ist $a-b-c$ wie $(a-b)-c$ zu interpretieren. Soll „–“ dagegen rechtsassoziativ sein, wäre $a-b-c$ wie $a-(b-c)$ zu interpretieren.

Linksassoziative Operatoren

Bei linksassoziativen Operatoren wird implizite Linksklammerung vereinbart – ein binärer Operator $*$ gilt somit als linksassoziativ, wenn die Ausdrücke

$a*b*c$	$:=(a*b)*c$
$a*b*c*d$	$:=((a*b)*c)*d$
etc.

wie gezeigt zu lesen sind. Beispiele für linksassoziative Operatoren sind:

Subtraktion, „–“:	$a-b-c$	$=(a-b)-c$
Division, „:“, „/“:	$a:b:c$	$=(a:b):c$
	$a÷b÷c$	$=(a÷b)÷c$
	$a/b/c$	$=(a/b)/c$
Jedoch: Bei waagerechten Bruchstrichen bindet der kürzere Bruchstrich stärker:
	$\frac{a}{\frac{b}{c}}$	$=\frac{a}{\left(\frac{b}{c}\right)}=\frac{a\cdot c}{b}$
	$\frac{\frac{a}{b}}{c}$	$=\frac{\left(\frac{a}{b}\right)}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$

• Funktionsanwendung durch Juxtaposition in vielen Programmiersprachen, u. a. Haskell:

f x y z = ((f x) y) z.

Rechtsassoziative Operatoren

Umgekehrt liegt bei rechtsassoziativen Operatoren $*$ implizite Rechtsklammerung vor, so dass gilt:

$x*y*z$	$:=$	$x*(y*z)$
$w*x*y*z$	$:=$	$w*(x*(y*z))$
etc.

Beispiele für rechtsassoziative Operatoren sind:

• Die Potenzierung: $x^{y^z}:=x^{(y^z)}$, denn $(x^y{)}^z$ wäre einfach $x^{yz}$.
  Achtung: Taschenrechner werten Eingaben der Form x ^ y ^ z gleichwohl in der Regel linksassoziativ, also so aus, als ob sie in der Form (x ^ y) ^ z eingegeben worden wären – bei Ausdrücken dieser Form muss daher die Rechtsassoziativität der Potenzierung stets mittels eigener Klammersetzung erzwungen werden: x ^ (y ^ z).
• Die Subjunktion in der Logik wird von den meisten Autoren rechtssassoziativ verwendet, das heißt, dass $P\to Q\to R$ als $P\to (Q\to R)$ zu lesen ist.
• Der Zuweisungsoperator einiger Programmiersprachen, wie C: x = y = z ist gleichbedeutend mit x = (y = z), das heißt, der Variablen y wird zunächst der Wert von z zugewiesen und erst danach das Ergebnis dieser Zuweisung (also der zugewiesene Wert z) der Variablen x zugewiesen.
• Funktionsanwendung durch infix-$ in Haskell:

f $ g $ h $ x = f $ (g $ (h $ x)).

Weder, noch

Es kann auch sein, dass Ausdrücke wie $a\bullet b\bullet c$ einfach verboten werden, selbst dann, wenn die Operation, für die der Operator $\bullet$ steht, assoziativ ist. So ist zum Beispiel in Haskell der Vergleichsoperator ==, wie auch <=,> usw., in diesem Sinne „nicht-assoziativ“, obwohl die Vergleichsoperation zwischen Booleschen Werten etwa (als Funktion $2\times 2\to 2$) assoziativ ist.

Siehe auch

• Operatorrangfolge