Omega-Konstante

Die Omega-Konstante $\mathrm{\Omega }$ ist eine mathematische Konstante, die implizit durch

$\mathrm{\Omega }{e}^{\mathrm{\Omega }}=1$

mit der Eulerschen Zahl $e$ definiert ist. Es gilt

$\mathrm{\Omega }=W(1),$

wobei $W$ die Lambertsche W-Funktion ist. Die Bezeichnung $\mathrm{\Omega }$ kommt von Omegafunktion, dem zweiten Namen der Lambertschen W-Funktion.

Die ersten Dezimalstellen von $\mathrm{\Omega }$ lauten

$\mathrm{\Omega }=0,567143290409783872999968662210\dots$

Eigenschaften

• $\mathrm{\Omega }=-\ln \mathrm{\Omega }$  bzw.  $\mathrm{\Omega }=\ln \frac{1}{\mathrm{\Omega }}$
• $\mathrm{\Omega }=e^{-\mathrm{\Omega }}$  bzw.  $\frac{1}{\mathrm{\Omega }}=e^{\mathrm{\Omega }}$, d. h., an der Stelle $\mathrm{\Omega }$ schneiden sich die Exponentialfunktion $x\mapsto e^x$ und die Funktion $x\mapsto 1/x$.
• Wenn man einen Potenzturm anlegt, der mit $e$ beginnt und mit $-e$ nach oben geht, erhält man $\mathrm{\Omega }$:

$\mathrm{\Omega }=e^{-e^{-e^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}$

• Anders formuliert bedeutet dies, dass $\mathrm{\Omega }$ der Grenzwert der durch

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=e^{-{\mathrm{\Omega }}_n}$

mit beliebigem Startwert ${\mathrm{\Omega }}_0$ rekursiv definierten Folge ist.

Die Folge konvergiert mit knapp einer viertel Dezimalstelle (genauer: $\mathrm{\Omega }\lg e$) pro Glied sehr langsam.

• Durch

$\mathrm{\Omega }=e^{-1}\uparrow \uparrow \mathrm{\infty }:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-1}\uparrow \uparrow n$

kommt in der sog. Pfeilschreibweise die Beziehung

$\mathrm{\Omega }=(1/e{)}^{(1/e{)}^{(1/e{)}^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}$

zum Ausdruck, dass $\mathrm{\Omega }$ also der Wert dieses unendlichen Potenzturmes mit lauter gleichen Basen $1/e$ ist, was wiederum nur eine ziemlich triviale Umformulierung der beiden vorstehenden Eigenschaften darstellt. Sie führt zu den gleichen Folgengliedern.

• Quadratisch dagegen konvergiert ${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=\frac{1+{\mathrm{\Omega }}_n}{1+e^{{\mathrm{\Omega }}_n}}$.
• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{(e^t-t{)}^2+{\pi }^2}\mathrm{d}t=\frac{1}{1+\mathrm{\Omega }}=0,638103743365110778522407385519\dots$
• $\mathrm{\Omega }=\frac{1}{\pi }\mathrm{Re}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\ln \frac{e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}\mathrm{d}t$, wobei mittels $\mathrm{Re}$ der Realteil des Integrals gebildet wird.
• $\mathrm{\Omega }$ ist eine transzendente Zahl.

Wäre nämlich $\mathrm{\Omega }$ eine algebraische Zahl, wäre nach dem Satz von Lindemann-Weierstraß $e^{-\mathrm{\Omega }}$ transzendent. Das widerspricht aber $e^{-\mathrm{\Omega }}=\mathrm{\Omega }$, sodass $\mathrm{\Omega }$ eine transzendente Zahl sein muss.

Weblinks

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