O-minimale Struktur

In der Mathematik sind o-minimale Strukturen eine Axiomatisierung und Verallgemeinerung der Eigenschaften semialgebraischer Mengen. Die Elemente einer o-minimalen Struktur heißen definierbare Mengen und sie haben viele Eigenschaften mit semialgebraischen Mengen gemeinsam. Zum Beispiel haben sie nur endlich viele Zusammenhangskomponenten.

Definition

Eine Folge ${\chi }_n$ von Familien von Teilmengen des ${ℝ}^n$ ist eine o-minimale Struktur, wenn

• sie unter den mengentheoretischen Operationen eine Boolesche Algebra bildet,
• ${\chi }_n$ alle semialgebraischen Teilmengen des ${ℝ}^n$ enthält,
• aus $A\in {\chi }_n$ und $B\in {\chi }_m$ folgt $A\times B\in {\chi }_{n+m}$,
• aus $m\ge n$ und $A\in {\chi }_m$ folgt $\pi (A)\in {\chi }_n$ für die Projektion $\pi$ auf die ersten $n$ Koordinaten,
• für alle $A\in {\chi }_1$ der Rand von $A$ eine endliche Menge ist.

Beispiele

• Die semialgebraischen Mengen bilden eine o-minimale Struktur.
• Die subanalytischen Mengen bilden keine o-minimale Struktur.
• Die global subanalytischen Mengen bilden eine o-minimale Struktur ${ℝ}_{an}$.
• Die Menge der Teilmengen $X=\pi (f^{-1}(0))\subset {ℝ}^n$ für $f(x_1,\dots ,x_m)=Q(x_1,\dots ,x_m,e^{x_1},\dots ,e^{x_m})$ mit einem Polynom $Q\in ℝ[X_1,\dots ,X_{2m}]$ und der Projektion $\pi :{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ auf die ersten $n$ Koordinaten ist eine o-minimale Struktur ${ℝ}_{exp}$.
• Die Vereinigung ${ℝ}_{an,exp}:={ℝ}_{an}\cup {ℝ}_{exp}$ ist eine o-minimale Struktur.

Literatur

• Lou van den Dries: Tame topology and o-minimal structures. London Mathematical Society Lecture Note Series 248. Cambridge University Press (1998)

Weblinks

• o-minimal structure (nLab)