Niven-Konstante

Die Niven-Konstante, benannt nach dem kanadisch-amerikanischen Mathematiker Ivan M. Niven, ist eine mathematische Konstante aus der Zahlentheorie. Sie ist definiert als der Grenzwert des arithmetischen Mittels der maximalen Exponenten der Primfaktorzerlegungen der ersten $n$ natürlichen Zahlen für $n\to \mathrm{\infty }$.

Definition

Es sei $m>1$ eine ganze Zahl mit der Primfaktorzerlegung $m=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}{p}_3^{a_3}\cdots p_k^{a_k}$ mit $a_i>0$ und $p_i\ne p_j$ für $i\ne j$, außerdem $H\left(1\right)=1$ und $H(m)=\max \{a_1,...,a_k\}$ das Maximum der Exponenten in der Primfaktorzerlegung von $m$ (Vorlage:OEIS), zum Beispiel sind die Zahlen $m$ mit $H(m)=1$ genau die quadratfreien Zahlen. Damit ist die Niven-Konstante definiert als

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{j=1}^{n}H(j).$

Eigenschaften

Die Niven-Konstante lässt sich durch die Riemannsche Zetafunktion $\zeta \left(k\right)$ ausdrücken und auf diesem Wege näherungsweise berechnen (Niven 1969):

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{j=1}^{n}H(j)=1+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{\zeta (k)})$ $=1,70521114010536776428855145343450816076202765165346...$ (Vorlage:OEIS)

Für das asymptotische Verhalten der Minima der Exponenten bewies Niven auf Anregung von Erdős

$\sum _{j=1}^{n}h(j)=n+\frac{\zeta (\frac{3}{2})}{\zeta (3)}\sqrt{n}+o(\sqrt{n}),$

wobei $h\left(1\right)=1$ und $h(m)=\min \{a_1,...,a_k\}$ das Minimum der Exponenten in der Primfaktorzerlegung von $m$ (Vorlage:OEIS) und $o$ ein Landau-Symbol ist. Somit ist insbesondere

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{j=1}^{n}h(j)=1.$

Literatur

• Steven R. Finch: Niven’s constant. Kapitel 2.6 in Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 112–115 (englisch)

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Vorlage:OEIS (Kettenbruchentwicklung der Niven-Konstante)