Nichtkommutatives Polynom

Nichtkommutative Polynome stellen eine Verallgemeinerung der Polynome dar, derart dass verschiedene Variablen nicht kommutieren.

Definition

Sei $𝒳$ eine Menge und $W(𝒳)$ das freie Monoid über $𝒳$. (Dann ist $W(𝒳)=\{x_1\cdots x_n|x_i\in 𝒳,n\ge 1\}\cup \{1\}$) Sei $R$ ein Ring. Der nichtkommutative Polynomring über $R$ ist definiert als

$R⟨𝒳⟩:=\{\sum _{x\in W(𝒳)}{r}_{w}w|r_w\in R,r_w=0\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\text{ fast alle }w\}\cong \underset{w\in W(𝒳)}{⨁}R$

Die Addition auf $R⟨𝒳⟩$ wird komponentenweise, die Multiplikation als Faltung

$\sum _w{a}_{w}w\cdot \sum _w{b}_{w}w:=\sum _w(\sum _{uv=w}{a}_u{b}_v)w$

definiert.

Eigenschaften

• Für endliche Mengen $𝒳=\{X_1,\dots ,X_n\}$ schreibt man $R⟨X_1,\dots ,X_n⟩$.
• $R⟨X⟩=R[X]$ für eine Variable $X$
• $R⟨𝒳⟩/[R⟨𝒳⟩,R⟨𝒳⟩]=R[𝒳]$

Siehe auch

• Polynom
• nichtkommutative Potenzreihe