Nicht-fortsetzbare Lösung

In der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen erhält man aus dem Satz von Peano und dem Satz von Picard-Lindelöf die Existenz einer lokalen Lösung eines gegebenen Anfangswertproblems. Man ist vor allem daran interessiert, ob man diese Lösung immer weiter fortsetzen kann, bis man zu einer nicht-fortsetzbaren Lösung (gelegentlich auch maximale Lösung genannt) gelangt. In einem zweiten Schritt ist man an dem Grund für die Nicht-Fortsetzbarkeit interessiert. Dies wird durch den Satz vom maximalen Existenzintervall geklärt.

Typischerweise werden die Ergebnisse in folgender Reihenfolge angewandt:

• Zunächst zeigt man mit dem Satz von Peano oder dem Satz von Picard-Lindelöf die Existenz einer (ggf. eindeutigen) lokalen Lösung des Anfangswertproblems.
• Daraus folgt mit dem unten angegebenen Satz die Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung des Anfangswertproblems. Deren Eindeutigkeit bekommt man als Anwendung der gronwallschen Ungleichung.
• Mit Hilfe des Satzes vom maximalen Existenzintervall kann man durch Ausschluss der übrigen Alternativen (beispielsweise mit Vergleichsargumenten) folgern, dass diese nicht-fortsetzbare Lösung global ist.

Im Folgenden sei stets $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$.

Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung

Sei $G\subset ℝ\times {𝕂}^n$ und $F:G\to {𝕂}^n$ stetig. Weiter sei $y\in C([a,b);{𝕂}^n)\cap C^1((a,b);{𝕂}^n)$ eine Lösung von

$y^{\prime }=F(x,y)$

auf $(a,b)$. Dann gibt es ein $x^{+}\in [b,\mathrm{\infty })$ und eine Lösung $u$ obiger Differentialgleichung auf $(a,x^{+})$ mit den Eigenschaften:

• $y(x)=u(x)$ auf $[a,b)$.
• Es gibt kein $s^{+}>x^{+}$, so dass $u$ zu einer Lösung auf $(a,s^{+})$ fortgesetzt werden kann.

Dieser Satz wird bewiesen, indem man eine partielle Ordnung auf der Menge aller Lösungen derart einführt, dass maximale Elemente stets nicht-fortsetzbare Lösungen sind. Deren Existenz wird mit dem Lemma von Kuratowski-Zorn bewiesen. Details sind im Beweisarchiv zu finden. Auf Grund dieses Beweises wird die nicht-fortsetzbare Lösung gelegentlich auch als maximale Lösung bezeichnet. Man verwechsle dies aber nicht mit dem Begriff der maximalen Lösung eines nicht-eindeutig lösbaren Anfangswertproblems $y^{\prime }=F(x,y),y(a)=y_0$ (für stetiges $F$).

Der Satz vom maximalen Existenzintervall

Hat man eine nicht-fortsetzbare Lösung vorliegen, möchte man wissen, was am Rand ihres Definitionsbereichs passiert. Das Ausschließen dieses Phänomens würde dann nämlich Globalität dieser Lösung nach sich ziehen.

Formulierung

Sei $D\subset {𝕂}^n$ und $F:[a,b)\times D\to {𝕂}^n$ stetig; dabei sei explizit $b=\mathrm{\infty }$ zugelassen. Betrachte die Differentialgleichung

$y^{\prime }=F(x,y).$

Dann gilt für jede nicht-fortsetzbare Lösung $y:[a,x^{+})\to D$

• $x^{+}=b$ (Globalität) oder
• $\underset{x\nearrow x^{+}}{\lim }\min \{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(y(x),\partial D),\frac{1}{\Vert y(x)\Vert }\}=0.$

Hierin sei $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(z,\mathrm{\varnothing }):=\mathrm{\infty }$ vereinbart.

Variante für lokal Lipschitz-stetige Differentialgleichung

Seien $G\subset ℝ\times {𝕂}^n$, $F:G\to {𝕂}^n$ stetig sowie lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen und $y:(x^{-},x^{+})\to {𝕂}^n$ eine nicht-fortsetzbare Lösung von $y^{\prime }=F(x,y)$. Dann gilt

• $x^{+}=\mathrm{\infty }$ (Globalität) oder
• $\underset{x\nearrow x^{+}}{\lim }\Vert y(x)\Vert =\mathrm{\infty }$ oder
• es gibt eine Folge $x_j\nearrow x^{+}$, so dass der Grenzwert $\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }y(x_j)=:y^{\star }$ existiert mit $(x^{+},y^{\star })\in \partial G$.

Literatur

• Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. Gruyter – de Gruyter Lehrbücher, Berlin / New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.
• Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1996, ISBN 3-540-59038-2.