Newton-Cotes-Formeln

Newton-Cotes-Formel für n = 2

Eine Newton-Cotes-Formel (nach Isaac Newton und Roger Cotes) ist eine Formel für die numerische Integration, also zur näherungsweisen Berechnung von Integralen. Diesen Formeln liegt die Idee zu Grunde, die zu integrierende Funktion durch ein Polynom zu interpolieren und dieses als Näherung exakt zu integrieren. Die Stützstellen der Interpolation werden dabei äquidistant gewählt.

Herleitung

Für das zu integrierende Interpolationspolynom $p_n(x)$ vom Grad $n$ werden die Stützstellen

$a\le x_0<x_1<\dots <x_n\le b$

äquidistant mit dem konstanten Abstand $h=x_{i+1}-x_i$ so gewählt, dass sie symmetrisch zur Intervallmitte $\frac{a+b}{2}$ des Integrationsintervalls $[a,b]$ liegen. Somit gilt $x_{n-i}=a+b-x_i$.

Mit $x_0=a$ (und somit $x_n=b$) erhält man $n$ Intervalle der Länge $h$ und somit $h=\frac{b-a}{n}$ und $x_i=a+i\cdot h$. Diese Formeln werden abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln genannt.

Mit $x_0\ne a$ (und somit $x_n\ne b$) erhält man offene Newton-Cotes-Formeln:

• Wählt man $x_0=a+h$ (und somit $x_n=b-h$), erhält man $n+2$ Intervalle der Länge $h$ und somit $h=\frac{b-a}{n+2}$ und $x_i=a+(1+i)\cdot h$. Diese Formeln werden offene Newton-Cotes-Formeln genannt.
• Wählt man $x_0=a+\frac{h}{2}$ (und somit $x_n=b-\frac{h}{2}$), erhält man $n+1$ Intervalle der Länge $h$ und somit $h=\frac{b-a}{n+1}$ und $x_i=a+(\frac{1}{2}+i)\cdot h$. Diese Formeln werden Maclaurin-Formeln genannt.

Zur numerischen Integration von $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ wird das Interpolationspolynom $p_n(x)$ der Funktion $f(x)$ zu den gegebenen Stützstellen herangezogen. Für dieses gilt:

$p_n(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_i)l_i(x)$,

wobei $l_i$ die Lagrange-Basispolynome sind. Daraus folgt:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{p}_n(x)dx=(b-a)\sum _{i=0}^{n}f(x_i)\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{l}_i(x)dx$.

Definition

Für die Newton-Cotes-Formel folgt dann:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \underset{a}{\overset{b}{\int }}{p}_n(x)dx=(b-a)\sum _{i=0}^n{w}_{i}f(x_i)$

mit den Gewichten

$w_i=\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{l}_i(x)dx$

Die Gewichte sind symmetrisch, das heißt $w_{n-i}=w_i$.

$l_i(x)=\prod _{\begin{array}{c}0\le j\le n\\ j\ne i\end{array}}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}=\frac{(x-x_0)\cdots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots (x-x_n)}{(x_i-x_0)\cdots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots (x_i-x_n)}$

Wegen der speziellen Wahl der Stützstellen integrieren diese Formeln bei ungeradem $n$ Polynome bis zum Grad $n$, bei geradem $n$ sogar bis zum Grad $n+1$ exakt. Somit sind Newton-Cotes-Formeln mit geradem $n$ (also einer ungeraden Anzahl an Stützstellen) denen mit ungeradem $n$ vorzuziehen. Diese Eigenschaft nennt man auch Genauigkeitsgrad.

Speziell gilt für $f(x)=1$, dass $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}1dx=b-a=(b-a)\sum _{i=0}^n{w}_i\cdot 1=(b-a)\sum _{i=0}^n{w}_i$ und somit $\sum _{i=0}^n{w}_i=1$.

Falls $\sum _{i=0}^n|w_i|>\sum _{i=0}^n{w}_i=1$, was bei Gewichten mit verschiedenen Vorzeichen der Fall ist, besteht die Gefahr, dass sich die Rundungsfehler aufschaukeln oder Auslöschung eintritt. Daher sind aus numerischen Gründen Formeln mit positiven Gewichten zu bevorzugen. Da für großes $n$ das Interpolationspolynom $p_n(x)$ unbrauchbar ist, sind ebenso Formeln mit großem $n$ nicht empfehlenswert. Will man bessere Näherungen erreichen, so empfiehlt sich die Verwendung von summierten Formeln.

$E(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{p}_n(x)dx$

ist der Fehler (Verfahrensfehler), der bei der Anwendung der Newton-Cotes-Formel gemacht wird. Dieser hat bei der speziellen Wahl der Stützstellen für $(p+1)$-mal auf $[a,b]$ stetig differenzierbar reellwertige Funktionen $f(x)$ immer die Form

$E(f)=K\cdot f^{(p+1)}(\xi )$,

wobei $K$ eine von $f(x)$ unabhängige Konstante und $\xi \in [a,b]$ ein nur in Ausnahmefällen bekannter Zwischenwert ist. Wäre er generell bekannt, könnte man $E(f)$ und somit auch das Integral exakt ausrechnen, im Widerspruch zu der Tatsache, dass es unendlich viele Integrale gibt, die man nicht exakt berechnen kann. Der Fehler ist Null für alle Funktionen, deren $(p+1)$-te Ableitung Null ist, also für alle Polynome vom Grad kleiner oder gleich $p$. Somit ist $p$ der Genauigkeitsgrad. Der Wert $p+1$ wird auch als (polynomiale) Ordnung der Newton-Cotes-Formel bezeichnet.

Mit Hilfe des Verfahrensfehlers erhält man die Fehlerabschätzung:

$|E(f)|\le |K|\cdot \underset{a\le \xi \le b}{\max }|f^{(p+1)}(\xi )|$.

Der exakte Fehler ist immer kleiner oder gleich dieser Fehlerabschätzung, wie auch die unten angegebenen Beispiele zeigen.

Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln

Die angegebenen Stützstellen $t_i$ gelten für das Integrationsintervall $[0,1]$: $t_0=0,t_i=\frac{i}{n},t_n=1$. Für ein allgemeines Intervall $[a,b]$ sind die Stützstellen $x_i=a+t_i\cdot (b-a)$.

$n$	Name	Stützstellen $t_i$	Gewichte $w_i$	$E(f)$
1	Trapezregel Sehnentrapezregel	$01$	$\frac{1}{2}\frac{1}{2}$	$-\frac{(b-a{)}^3}{12}{f}^{″}(\xi )$
2	Simpson-Regel Keplersche Fassregel	$0\frac{1}{2}1$	$\frac{1}{6}\frac{4}{6}\frac{1}{6}$	$-\frac{{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^5}{90}{f}^{(4)}(\xi )$
3	3/8-Regel Pulcherrima	$0\frac{1}{3}\frac{2}{3}1$	$\frac{1}{8}\frac{3}{8}\frac{3}{8}\frac{1}{8}$	$-\frac{3{\left(\frac{b-a}{3}\right)}^5}{80}{f}^{(4)}(\xi )$
4	Milne-Regel Boole-Regel	$0\frac{1}{4}\frac{2}{4}\frac{3}{4}1$	$\frac{7}{90}\frac{32}{90}\frac{12}{90}\frac{32}{90}\frac{7}{90}$	$-\frac{8{\left(\frac{b-a}{4}\right)}^7}{945}{f}^{(6)}(\xi )$
5	6-Punkt-Regel	$0\frac{1}{5}\frac{2}{5}\frac{3}{5}\frac{4}{5}1$	$\frac{19}{288}\frac{75}{288}\frac{50}{288}\frac{50}{288}\frac{75}{288}\frac{19}{288}$	$-\frac{275{\left(\frac{b-a}{5}\right)}^7}{12096}{f}^{(6)}(\xi )$
6	Weddle-Regel (nach Thomas Weddle, 1817–1853)	$0\frac{1}{6}\frac{2}{6}\frac{3}{6}\frac{4}{6}\frac{5}{6}1$	$\frac{41}{840}\frac{216}{840}\frac{27}{840}\frac{272}{840}\frac{27}{840}\frac{216}{840}\frac{41}{840}$	$-\frac{9{\left(\frac{b-a}{6}\right)}^9}{1400}{f}^{(8)}(\xi )$

Die gekürzten Werte aller Gewichte bis $n=10$ betragen:

n	Gewichte
1	$\{\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}$
2	$\{\frac{1}{6},\frac{2}{3},\frac{1}{6}\}$
3	$\{\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{3}{8},\frac{1}{8}\}$
4	$\{\frac{7}{90},\frac{16}{45},\frac{2}{15},\frac{16}{45},\frac{7}{90}\}$
5	$\{\frac{19}{288},\frac{25}{96},\frac{25}{144},\frac{25}{144},\frac{25}{96},\frac{19}{288}\}$
6	$\{\frac{41}{840},\frac{9}{35},\frac{9}{280},\frac{34}{105},\frac{9}{280},\frac{9}{35},\frac{41}{840}\}$
7	$\{\frac{751}{17280},\frac{3577}{17280},\frac{49}{640},\frac{2989}{17280},\frac{2989}{17280},\frac{49}{640},\frac{3577}{17280},\frac{751}{17280}\}$
8	$\{\frac{989}{28350},\frac{2944}{14175},-\frac{464}{14175},\frac{5248}{14175},-\frac{454}{2835},\frac{5248}{14175},-\frac{464}{14175},\frac{2944}{14175},\frac{989}{28350}\}$
9	$\{\frac{2857}{89600},\frac{15741}{89600},\frac{27}{2240},\frac{1209}{5600},\frac{2889}{44800},\frac{2889}{44800},\frac{1209}{5600},\frac{27}{2240},\frac{15741}{89600},\frac{2857}{89600}\}$
10	$\{\frac{16067}{598752},\frac{26575}{149688},-\frac{16175}{199584},\frac{5675}{12474},-\frac{4825}{11088},\frac{17807}{24948},-\frac{4825}{11088},\frac{5675}{12474},-\frac{16175}{199584},\frac{26575}{149688},\frac{16067}{598752}\}$

Für $n=8$ gilt $w_i<0$ für $i=2,4,6$ und ${\sum }_{i=0}^n|w_i|=1,45\dots$ Für $n=10$ gilt $\sum _{i=0}^n|w_i|=3,064794\dots$

Beispiel: $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{1}{x}dx=\ln (3)-\ln (1)=\ln (3)=1,098612\dots$

Näherung mit Simpson-Regel ($n=2$). Es gilt $h=\frac{b-a}{n}=\frac{2}{2}=1$ und $x_0=a=1$.

$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{p}_2(x)dx=2\cdot (\frac{1}{6}f(1)+\frac{4}{6}f(2)+\frac{1}{6}f(3))=2\cdot (\frac{1}{6}\cdot 1+\frac{4}{6}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{3})=\frac{10}{9}=1,\bar{1}$

Verfahrensfehler: Mit $f^{(4)}(\xi )=\frac{4!}{{\xi }^5}$ erhält man $E(f)=-\frac{1}{90}\cdot {\left(\frac{2}{2}\right)}^5\cdot \frac{4!}{{\xi }^5}=-\frac{4}{15}\cdot \frac{1}{{\xi }^5}$ mit $\xi \in [1,3]$

Fehlerabschätzung: $|E(f)|\le \frac{4}{15}\cdot \underset{1\le \xi \le 3}{\max }\left|\frac{1}{{\xi }^5}\right|=\frac{4}{15}\cdot \frac{1}{1}=0,2\bar{6}$

Exakter Fehler: $\breve{a}|E(f)|=|\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{1}{x}dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}{p}_2(x)dx|=|1,098612\dots -1,\bar{1}|=0,012498\dots <0,2\bar{6}$

Offene Newton-Cotes-Formeln

Die Stützstellen $t_i$ gelten für das Integrationsintervall $[0,1]$: $t_0=\frac{1}{n+2},t_i=\frac{i+1}{n+2},t_n=\frac{n+1}{n+2}$. Für ein allgemeines Intervall $[a,b]$ sind die Stützstellen $x_i=a+t_i\cdot (b-a)$.

$n$	Name	Stützstellen $t_i$	Gewichte $w_i$	$E(f)$
0	Rechteckregel Mittelpunktsregel Tangententrapezregel	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{(b-a{)}^3}{24}{f}^{″}(\xi )$
1		$\frac{1}{3}\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}\frac{1}{2}$	$\frac{3{\left(\frac{b-a}{3}\right)}^3}{4}{f}^{″}(\xi )$
2		$\frac{1}{4}\frac{2}{4}\frac{3}{4}$	$\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\frac{2}{3}$	$\frac{14{\left(\frac{b-a}{4}\right)}^5}{45}{f}^{(4)}(\xi )$
3		$\frac{1}{5}\frac{2}{5}\frac{3}{5}\frac{4}{5}$	$\frac{11}{24}\frac{1}{24}\frac{1}{24}\frac{11}{24}$	$\frac{95{\left(\frac{b-a}{5}\right)}^5}{144}{f}^{(4)}(\xi )$
4		$\frac{1}{6}\frac{2}{6}\frac{3}{6}\frac{4}{6}\frac{5}{6}$	$\frac{11}{20}-\frac{14}{20}\frac{26}{20}-\frac{14}{20}\frac{11}{20}$	$\frac{41{\left(\frac{b-a}{6}\right)}^7}{140}{f}^{(6)}(\xi )$
5		$\frac{1}{7}\frac{2}{7}\frac{3}{7}\frac{4}{7}\frac{5}{7}\frac{6}{7}$	$\frac{611}{1440}-\frac{453}{1440}\frac{562}{1440}\frac{562}{1440}-\frac{453}{1440}\frac{611}{1440}$	$\frac{5257{\left(\frac{b-a}{7}\right)}^7}{8640}{f}^{(6)}(\xi )$
6		$\frac{1}{8}\frac{2}{8}\frac{3}{8}\frac{4}{8}\frac{5}{8}\frac{6}{8}\frac{7}{8}$	$\frac{460}{945}-\frac{954}{945}\frac{2196}{945}-\frac{2459}{945}\frac{2196}{945}-\frac{954}{945}\frac{460}{945}$	$\frac{3956{\left(\frac{b-a}{8}\right)}^9}{14175}{f}^{(8)}(\xi )$

Für $n=5$ gilt ${\sum }_{i=0}^n|w_i|=\frac{3252}{1440}=2,258333\dots$ Für $n=6$ gilt ${\sum }_{i=0}^n|w_i|=\frac{9679}{945}=10,24\dots$

Von diesen Formeln ist nur die Rechteckregel empfehlenswert. Die Formel für $n=1$ hat bei höherem Aufwand die gleiche Ordnung wie die Rechteckregel, die höheren Formeln haben negative Gewichte.

Beispiel: $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{1}{x}dx=\ln (3)-\ln (1)=\ln (3)=1,098612\dots$

Näherung mit der Formel für $n=2$. Es gilt $h=\frac{b-a}{n+2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ und $x_0=a+h=\frac{3}{2}$.

$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{p}_2(x)dx=2\cdot (\frac{2}{3}f\left(\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{3}f\left(\frac{4}{2}\right)+\frac{2}{3}f\left(\frac{5}{2}\right))=2\cdot (\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}-\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{4}+\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{5})=\frac{49}{45}=1,0\bar{8}$.

Verfahrensfehler: Mit $f^{(4)}(\xi )=\frac{4!}{{\xi }^5}$ erhält man $E(f)=\frac{14}{45}\cdot {\left(\frac{2}{4}\right)}^5\cdot \frac{4!}{{\xi }^5}=\frac{7}{30}\cdot \frac{1}{{\xi }^5}$ mit $\xi \in [1,3]$.

Fehlerabschätzung: $|E(f)|\le \frac{7}{30}\cdot \underset{1\le \xi \le 3}{\max }\left|\frac{1}{{\xi }^5}\right|=\frac{7}{30}\cdot \frac{1}{1}=0,2\bar{3}$

Exakter Fehler: $|E(f)|=|\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{1}{x}dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}{p}_2(x)dx|=|1,098612\dots -1,0\bar{8}|=0,009723\dots <0,2\bar{3}$

Maclaurin-Formeln

Diese Formeln sind nach Colin Maclaurin benannt. Die Stützstellen $t_i$ gelten für das Integrationsintervall $[0,1]$: $t_0=\frac{1}{2n+2},t_i=\frac{2i+1}{2n+2},t_n=\frac{2n+1}{2n+2}$. Für ein allgemeines Intervall $[a,b]$ sind die Stützstellen $x_i=a+t_i\cdot (b-a)$.

$n$	Name	Stützstellen $t_i$	Gewichte $w_i$	$E(f)$
0	Rechteckregel Mittelpunktsregel Tangententrapezregel	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{(b-a{)}^3}{24}{f}^{″}(\xi )$
1		$\frac{1}{4}\frac{3}{4}$	$\frac{1}{2}\frac{1}{2}$	$\frac{{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^3}{12}{f}^{″}(\xi )$
2		$\frac{1}{6}\frac{1}{2}\frac{5}{6}$	$\frac{3}{8}\frac{2}{8}\frac{3}{8}$	$\frac{21{\left(\frac{b-a}{3}\right)}^5}{640}{f}^{(4)}(\xi )$
3		$\frac{1}{8}\frac{3}{8}\frac{5}{8}\frac{7}{8}$	$\frac{13}{48}\frac{11}{48}\frac{11}{48}\frac{13}{48}$	$\frac{103{\left(\frac{b-a}{4}\right)}^5}{1440}{f}^{(4)}(\xi )$
4		$\frac{1}{10}\frac{3}{10}\frac{5}{10}\frac{7}{10}\frac{9}{10}$	$\frac{275}{1152}\frac{100}{1152}\frac{402}{1152}\frac{100}{1152}\frac{275}{1152}$	$\frac{5575{\left(\frac{b-a}{5}\right)}^7}{193536}{f}^{(6)}(\xi )$

Für $n=6$ gilt $\sum _{i=0}^n|w_i|=1,363\dots$ Für $n=8$ gilt $\sum _{i=0}^n|w_i|=3,433\dots$

Beispiel: $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{1}{x}dx=\ln (3)-\ln (1)=\ln (3)=1,098612\dots$

Näherung mit der Formel für $n=2$. Es gilt $h=\frac{b-a}{n+1}=\frac{2}{3}$ und $x_0=a+\frac{h}{2}=\frac{4}{3}$.

$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{p}_2(x)dx=2\cdot (\frac{3}{8}f\left(\frac{4}{3}\right)+\frac{2}{8}f\left(\frac{6}{3}\right)+\frac{3}{8}f\left(\frac{8}{3}\right))=2\cdot (\frac{3}{8}\cdot \frac{3}{4}+\frac{2}{8}\cdot \frac{3}{6}+\frac{3}{8}\cdot \frac{3}{8})=\frac{105}{96}=1,09375$

Verfahrensfehler: Mit $f^{(4)}(\xi )=\frac{4!}{{\xi }^5}$ erhält man $E(f)=\frac{21}{640}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^5\cdot \frac{4!}{{\xi }^5}=\frac{14}{135}\cdot \frac{1}{{\xi }^5}$ mit $\xi \in [1,3]$.

Fehlerabschätzung: $|E(f)|\le \frac{14}{135}\cdot \underset{1\le \xi \le 3}{\max }\left|\frac{1}{{\xi }^5}\right|=\frac{14}{135}\cdot \frac{1}{1}=0,1\overline{037}$

Exakter Fehler: $|E(f)|=|\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{1}{x}dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}{p}_2(x)dx|=|1,098612\dots -1,09375|=0,000486\dots <0,1\overline{037}$

Summierte Newton-Cotes-Formeln

Ab Grad 8 treten bei vielen Newton-Cotes-Formeln negative Gewichte auf, was die Gefahr der Auslöschung mit sich bringt. Außerdem kann man im Allgemeinen keine Konvergenz erwarten, da die Polynominterpolation schlecht konditioniert ist. Bei größeren Integrationsbereichen $[a,b]$ unterteilt man diese daher in einzelne Teilintervalle und wendet auf jedes einzelne Teilintervall eine Formel niedriger Ordnung an.

Literatur

• Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 6. Auflage. Teubner, Stuttgart 2006, ISBN 3-519-42960-8, S. 311–316.
• Roland W. Freund, Ronald H. W. Hoppe: Stoer/Bulirsch: Numerische Mathematik 1. 10. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-45389-5, S. 164–169.
• Michael R. Schäferkotter, Prem K. Kythe: Handbook of Computational Methods for Integration. Chapman & Hall, Boca Raton 2005, ISBN 1-58488-428-2, S. 54–62, 503–505.
• Günter Bärwolf: Numerik für Ingenieure, Physiker und Informatiker. ISBN 978-3-8274-1689-6, Spektrum, München 2007, S. 128.
• Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka: Numerik-Algorithmen : Verfahren, Beispiele, Anwendungen. ISBN 978-3-642-13472-2, Springer, Berlin und Heidelberg 2011.