Nöbeling-Raum

Der Nöbeling-Raum ist eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Er ist der universelle separable metrische Raum.

Er ist nach Georg Nöbeling benannt.

Konstruktion

Der m-dimensionale Nöbeling-Raum ${ℛ}_m^{2m+1}\subset {ℝ}^{2m+1}$ ist die Menge aller Punkte mit höchstens $m$ rationalen Koordinaten:

${ℛ}_m^{2m+1}:=\{(x_1,x_2,\dots ,x_{2m+1})\in {ℝ}^{2m+1}:\text{Es gibt }1\le i_1<i_2<\dots <i_{m+1}\le 2m+1\text{ mit }{x}_{i_1},x_{i_2},\dots ,x_{i_{m+1}}\in ̸\mathbb{Q}\}$.

Universalität

Der m-dimensionale Nöbeling-Raum ist der universelle m-dimensionale separable metrische Raum, d. h. jeder m-dimensionale separable metrische Raum lässt sich in ${ℛ}_m^{2m+1}$ einbetten.

Eigenschaften

Der m-dimensionale Nöbeling-Raum ist (m-1)-zusammenhängend und (m-1)-lokal zusammenhängend. Das bedeutet

• ${\pi }_i({ℛ}_m^{2m+1})=0$ für $i\le m-1$, und
• für jede Umgebung $U$ eines Punktes $x\in {ℛ}_m^{2m+1}$ gibt es eine Umgebung $x\in V\subset U$ mit ${\pi }_i(V)=0$ für $i\le m-1$.

Starrheit

Jeder m-dimensionale zusammenhängende Raum, der lokal zu ${ℛ}_m^{2m+1}$ homöomorph ist (d. h. zu jedem Punkt gibt es eine zu einer offenen Teilmenge von ${ℛ}_m^{2m+1}$ homöomorphe Umgebung), ist bereits zu ${ℛ}_m^{2m+1}$ homöomorph.

Charakterisierung

Ein topologischer Raum X ist zum m-dimensionalen Nöbeling-Raum homöomorph, wenn er die folgenden Eigenschaften besitzt:

• X ist separabel.
• X hat eine vollständige Metrik.
• X ist m-dimensional.
• X ist (m-1)-zusammenhängend.
• X ist (m-1)-lokal zusammenhängend.
• X erfüllt die Lokalendliche-m-Scheiben-Eigenschaft, d. h. zu jeder offenen Überdeckung $X=\cup U_i$ und jeder Folge $f_n:D^m\to X$ gibt es eine Folge $g_n:D^m\to X$, so dass es zu jedem $x\in X$ eine Umgebung $U_i$ mit $U_i\cap g_n(D^m)=\mathrm{\varnothing }$ für fast alle $n$ gibt und dass es zu jedem $t\in D^m$ ein $U_i$ mit $f_n(t)\in U_i,g_n(t)\in U_i$ gibt.

Literatur

• Andrzej Nagórko: Characterization and topological rigidity of Nobeling manifolds (= Memoirs of the American Mathematical Society. 1048 = 223, 2). American Mathematical Society, Providence RI 2013, ISBN 978-0-8218-5366-5, Vorlage:ArXiv (Dissertation).