Morse-Potential

Das Morse-Potential (blau) im Vergleich zum quadratischen Potential des harmonischen Oszillators (grün).
Eingezeichnet sind auch die Energiestufen, die beim Harmonischen Oszillator äquidistant sind ($\hslash \omega$), beim Morsepotential hingegen mit zunehmender Energie immer weniger Abstand haben, bis zur Bindungsenergie $D_e$, die größer als die tatsächlich benötigte Energie $D_0$ zur Flucht aus der Potentialmulde ist, da die Nullpunktenergie $(\nu =0)$ größer Null ist.

Das Morse-Potential $V$ ist ein Begriff aus der Molekülphysik. Der 1929 vom US-amerikanischen Physiker Philip McCord Morse vorgeschlagene Zusammenhang beschreibt den Verlauf des elektronischen Potentials eines zweiatomigen Moleküls in Abhängigkeit vom Kern­bindungsabstand $R$ durch eine exponentielle Näherung:

$V(R)=D_{\text{e}}\cdot {(1-e^{-a\cdot (R-R_{\text{e}})})}^2$

mit

• $D_{\text{e}}$ die (spektroskopische) Dissoziationsenergie
• $R_{\text{e}}$ der Kernabstand mit der geringsten potentiellen Energie und
• $a$ eine Konstante (manchmal als „Steifigkeit des Potentials“ bezeichnet)

Diese Größen sind für das betrachtete Molekül charakteristisch.

Da man üblicherweise das Potential im Unendlichen als null definiert:

$V(\mathrm{\infty })=0$

wird das Morse-Potential häufig in der alternativen Form angegeben:

$V(R)-D_{\text{e}}=D_{\text{e}}\cdot (e^{-2a\cdot (R-R_{\text{e}})}-2e^{-a\cdot (R-R_{\text{e}})})$

Dadurch verschiebt sich das Nullpunktpotential um $-D_{\text{e}}$. Diese Verschiebung ermöglicht die Definition eines cutoff-Radiuses, ab dem das Potential nicht mehr berücksichtigt wird.

Die Schrödinger-Gleichung ist mit dem Morsepotential analytisch lösbar. So können die Schwingungsenergien $E_{\nu }$ berechnet werden:

$E_{\nu }=h{\omega }_0\cdot (\nu +\frac{1}{2})-\frac{h^2{\omega }_0^2}{4D_{\text{e}}}\cdot {(\nu +\frac{1}{2})}^2$

mit

• dem planckschen Wirkungsquantum $h$
• der Schwingungsquantenzahl $\nu$
• der Frequenz ${\omega }_0$, die über die Teilchenmasse $m$ mit der Konstante $a$ des Morse-Potentials verknüpft ist

${\omega }_0=\frac{a}{2\pi }\sqrt{\frac{2D_{\text{e}}}{m}}$

Heutzutage wird für die Berechnung von Schwingungsenergien eher das RKR-Potential (RKR steht hierbei für Ragnar Rydberg, Oskar Klein und Lloyd Rees) oder das Lennard-Jones-Potential angewendet.

Literatur

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