Monotoner Dichtequotient

Ein wachsender oder monotoner Dichtequotient, auch wachsender oder monotoner Likelihood-Quotient genannt, ist eine Eigenschaft einer Verteilungsklasse oder eines statistischen Modells in der mathematischen Statistik. Für Modelle mit wachsendem Dichtequotienten lässt sich das Neyman-Pearson-Lemma verallgemeinern und liefert somit die Existenz gleichmäßig bester Schätzer.

Definition

Gegeben sei ein statistisches Modell $(X,𝒜,(P_{\vartheta }{)}_{\vartheta \in \mathrm{\Theta }})$ mit $\mathrm{\Theta }\subset ℝ$. Des Weiteren existiere für alle $\vartheta \in \mathrm{\Theta }$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $f_{\vartheta }(x)$. Definiere

$R_{\vartheta :\bar{\vartheta }}:=\frac{f_{\bar{\vartheta }}(x)}{f_{\vartheta }(x)}$

die Dichtequotientenfunktion.

Existiert nun für alle $\vartheta <\bar{\vartheta }$ eine Statistik

$T:X\to ℝ$,

so dass die Dichtequotientenfunktion eine monoton wachsende Funktion in $T$ ist, so heißt das statistische Modell ein Modell mit wachsendem Dichtequotienten in $T$.

Es existiert also eine monoton wachsende Funktion $g_{\vartheta :\bar{\vartheta }}$, so dass

$R_{\vartheta :\bar{\vartheta }}=g_{\vartheta :\bar{\vartheta }}\circ T$

ist.

Verwendung

In Modellen mit monotonem Dichtequotient lässt sich das Neyman-Pearson-Lemma auf einseitige Tests verallgemeinern. Dabei sind einseitige Tests von der Form

${\mathrm{\Theta }}_0=\{\vartheta \in \mathrm{\Theta }|\vartheta \le {\vartheta }_0\}\text{ und }{\mathrm{\Theta }}_1=\{\vartheta \in \mathrm{\Theta }|\vartheta >{\vartheta }_0\}$

oder umgekehrt, wobei $\mathrm{\Theta }\subset ℝ$ und ${\vartheta }_0$ eine vorgegebene Zahl ist. Somit existiert in diesem Fall ein gleichmäßig bester Test zu einem vorgegebenen Niveau $\alpha$, der auch explizit angegeben werden kann.

Eine große Verteilungsklasse mit monotonem Dichtequotient ist beispielsweise die einparametrige Exponentialfamilie.

Literatur

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