Mittelbarer G-Raum

In der Mathematik ist der Begriff der mittelbaren Gruppenwirkung oder des mittelbaren G-Raums (engl. amenable action) besonders in der Theorie der Operatoralgebren von Bedeutung.

Definition

Sei $G$ eine topologische Gruppe und $X$ ein messbarer G-Raum, d. h. ein Maßraum mit einer messbaren Gruppenwirkung. Ein invariantes Mittel auf $X$ ist ein lineares Funktional

$m:L^{\mathrm{\infty }}(X)\bar{\otimes }{l}^{\mathrm{\infty }}(G)\to L^{\mathrm{\infty }}(X)$

mit $m(f\otimes 1)=f$ und $m(f_1\otimes f_2)\ge 0$ für $f_1,f_2\ge 0$, das invariant unter der Wirkung der Gruppe $G$ ist, für das also $m(g^{*}f)=m(f)$ für alle $g\in G,f=f_1\otimes f_2\in L^{\mathrm{\infty }}(X)\otimes l^{\mathrm{\infty }}(G)$ und die durch $g^{*}(f_1\otimes f_2)(x,h)=f_1\otimes f_2(g^{-1}x,g^{-1}h)$ definierte Funktion $g^{*}f$ gilt.

Ein $G$-Raum heißt mittelbar, wenn es ein invariantes Mittel gibt.

Beispiele

• Wenn $G$ eine mittelbare Gruppe ist, dann ist jeder $G$-Raum mittelbar.
• Eine freie Wirkung einer Gruppe $G$ ist genau dann mittelbar, wenn $G$ mittelbar ist.
• Die Wirkung einer hyperbolischen Gruppe auf ihrem Rand im Unendlichen ist mittelbar.
• Seien $G$ und $P$ lokalkompakte Gruppen. Wenn $P$ eine mittelbare Gruppe ist, dann ist die Wirkung jeder diskreten Untergruppe $\mathrm{\Gamma }\subset G$ auf $G/P$ mittelbar.

Literatur

• Robert Zimmer: Amenable ergodic Group actions and application to Poisson boundaries of random walks. J. Funct. Anal. 27 (1978), 350–372.
• C. Anantharaman-Delaroche, J. Renault: Amenable groupoids. Mit einem Vorwort von G. Skandalis und Anhang B von E. Germain. Monographies de L’Enseignement Mathématique 36, Genf 2000.
• N. P. Brown, N. Ozawa: C^*-algebras and finite dimensional approximations. Graduate Studies in Mathematics, vol. 88, 2008.