Minimale Primzahl

In der Unterhaltungsmathematik ist eine minimale Primzahl eine Primzahl $p \in ℙ$ , bei der keine Teilfolge ihrer Ziffern in einer gegebenen Basis eine Primzahl ist, solange man sie nicht miteinander vertauscht.

Beispiele im Dezimalsystem

Die Zahl $109$ ist keine minimale Primzahl, weil man aus ihren Ziffern die Primzahl $19$ machen kann. Die einzelnen Ziffern der Teilfolgen müssen also in der ursprünglichen Zahl nicht zusammenhängend sein.
Aus der Zahl $409$ kann man folgende Teilfolgen ihrer Ziffern machen: $0, 4, 9, 09, 40, 49$ . Keine dieser Zahlen ist eine Primzahl, somit ist $409$ eine minimale Primzahl.
Die Zahl $991$ ist eine minimale Primzahl, weil man aus ihren Ziffern nur die Zahlen $1, 9, 91$ und $99$ machen kann und keine dieser Zahlen prim ist. Die einzelnen Ziffern der ursprünglichen Zahl dürfen aber nicht vertauscht werden (sonst wäre in diesem Fall die Teilfolge $19$ sehr wohl eine Primzahl).
Die einzigen minimalen Primzahlen für die Basis $10$ (also im Dezimalsystem) sind die folgenden 26 Primzahlen (Vorlage:OEIS):

2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6 469, 6 949, 9 001, 9 049, 9 649, 9 949, 60 649, 666 649, 946 669, 60 000 049, 66 000 049, 66 600 049

Beispiele mit Basis b

Folgende Tabelle zeigt die minimalen Primzahlen in der Basis $b$ (wobei aus Ermangelung an weiteren Ziffern $A = 10$ und $B = 11$ gesetzt wird). Es gibt zur jeweiligen Basis nicht mehr minimale Primzahlen.^[1]^[2]

Basis $b$	minimale Primzahlen zur Basis $b$ , geschrieben zur Basis $b$
Vorlage:02	10, 11
Vorlage:03	2, 10, 111
Vorlage:04	2, 3, 11
Vorlage:05	2, 3, 10, 111, 401, 414, 14.444, 44.441 (insgesamt 8 minimale Primzahlen)
Vorlage:06	2, 3, 5, 11, 4.401, 4.441, 40.041 (insgesamt 7 minimale Primzahlen)
Vorlage:07	2, 3, 5, 10, 14, 16, 41, 61, 11.111 (insgesamt 9 minimale Primzahlen)
Vorlage:08	2, 3, 5, 7, 111, 141, 161, 401, 661, 4.611, 6.101, 6.441, 60.411, 444.641, 444.444.441 (insgesamt 15 minimale Primzahlen)
Vorlage:09	2, 3, 5, 7, 14, 18, 41, 81, 601, 661, 1.011, 1.101 (insgesamt 12 minimale Primzahlen)
10	2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6.469, 6.949, 9.001, 9.049, 9.649, 9.949, 60.649, 666.649, 946.669, 60.000.049, 66.000.049, 66.600.049 (insgesamt 26 minimale Primzahlen)
11	2, 3, 5, 7, 10, 16, 18, 49, 61, 81, 89, 94, 98, 9A, 199, 1AA, 414, 919, A1A, AA1, 1.1A9, 6.6A9, A.119, A.911, A.AA9, 11.144, 11.191, 11.41A, 11.4A1, 14.11A, 14.4A4, 14.A11, 1A.114, 1A.411, 40.41A, 40.441, 40.4A1, 41.11A, 41.1A1, 44.401, 44.4A1, 44.A01, 6A.609, 6A.669, 6A.696, 6A.906, 6A.966, 90.901, 99.111, A0.111, A0.669, A0.966, A0.999, A0.A09, A4.401, A6.096, A6.966, A6.999, A9.091, A9.699, A9.969, 401.A11, 404.001, 404.111, 440.A41, 4A0.401, 4A4.041, 60A.069, 6A0.096, 6A0.A96, 6A9.099, 6A9.909, 909.991, 999.901, A00.009, A60.609, A66.069, A66.906, A69.006, A90.099, A90.996, A96.006, A96.666, 1.111.14A, 1.111.A14, 1.111.A41, 1.144.441, 1.4A4.444, 1.A44.444, 4.000.111, 4.011.111, 4.1A1.111, 4.411.111, 4.444.41A, 4.A11.111, 4.A40.001, 6.000.A69, 6.000.A96, 6.A00.069, 9.900.991, 9.990.091, A.000.696, A.000.991, A.006.906, A.040.041, A.141.111, A.600.A69, A.906.606, A.909.009, A.990.009, 40.A00.041, 60.A99.999, 99.000.001, A0.004.041, A9.909.006, A9.990.006, A9.990.606, A9.999.966, 400.00A.401, 44A.444.441, 900.000.091, A00.990.001, A44.444.111, A66.666.669, A90.000.606, A99.999.006, A99.999.099, 6.000.00A.999, A.000.144.444, A.900.000.066, A0.000.000.001, A0.014.444.444, 4.000.000.0A0.041, A.000.000.014.444, A.044.444.444.441, A.144.444.444.411, 40.000.000.000.401, A0.000.044.444.441, A00.000.000.444.441, 11.111.111.111.111.111, 14.444.444.444.441.111, 44.444.444.444.444.111, A1.444.444.444.444.444, A9.999.999.999.999.996, 1.444.444.444.444.444.444, 40.000.000.000.000.00A.041, A.999.999.999.999.999.999.999, A44.444.444.444.444.444.444.444.441, 40.000.000.000.000.000.000.000.000.041, 440.000.000.000.000.000.000.000.000.001, 999.999.999.999.999.999.999.999.999.999.991, 444.444.444.444.444.444.444.444.444.444.444.444.444.444.441 (insgesamt 152 minimale Primzahlen)
12	2, 3, 5, 7, B, 11, 61, 81, 91, 401, A41, 4.441, A.0A1, AA.AA1, 44.AAA1, A.AA0.001, AA.000.001 (insgesamt 17 minimale Primzahlen)

Die einzigen minimalen Primzahlen für die Basis 12 (also im Duodezimalsystem) sind die obigen 17 Primzahlen.

Im Dezimalsystem geschrieben lauten sie wie folgt (Vorlage:OEIS):

2, 3, 5, 7, 11, 13, 73, 97, 109, 577, 1 489, 7 537, 17 401, 226 201, 1 097 113, 32 555 521, 388 177 921

Beispiel:

Die minimale Primzahl

A 4 1_{12}

ist im Dezimalsystem die Zahl

\underline{10} \cdot 1 2^{2} + \underline{4} \cdot 1 2^{1} + \underline{1} \cdot 1 2^{0} = 1440 + 48 + 1 = 148 9_{10}

. Aus ihr kann man die Nicht-Primzahlen

1_{12} = 1_{10}, 4_{12} = 4_{10}, A_{12} = 1 0_{10}, 4 1_{12} = 4 9_{10}, A 1_{12} = 12 1_{10}

und

A 4_{12} = 12 4_{10}

machen.

Die Anzahl der minimalen (zum Teil PRP-) Primzahlen bei gegebener Basis $b = 2, 3, \dots$ sind die folgenden:^[3]

2, 3, 3, 8, 7, 9, 15, 12, 26, 152, 17, 228, 240, 100, 483, 1.279~1.280,^[4] 50, 3.462~3.463,^[5] 651, 2600~2601,^[6] 1.242, 6.021, 306, 17.597~17.609,^[7] 5.662~5.664,^[8] 17.210~17.215,^[9] 5.783~5.784,^[10] 57.283~57.297,^[11] 220, 79.182~79.206,^[12] 45.205~45.283,^[13] 57.676~57.709,^[14] 56.457~56.490,^[15] 182378~182393,^[16] 6.296~6.297,^[17] …

Beispiel:

An der 14. Stelle obiger Liste steht die Zahl

240

. Es gibt also

240

minimale Primzahlen zur Basis

b = 14

.

Die Stellenanzahl der größten minimalen (zum Teil PRP-) Primzahlen bei gegebener Basis $b = 2, 3, \dots$ sind die folgenden:^[1]^[3]

\begin{matrix} 2, 3, 2, 5, 5, 5, 9, 4, 8, 45, 8, 32 021, 86, 107, 3 545, \geq 111 334, 33, \geq 110 986, 449, \geq 479 150, 764, 800 874, 100, \geq 136 967, \\ \geq 8 773, \geq 109 006, \geq 94 538, \geq 174 240, 1 024, \geq 9 896, \geq 9 750, \geq 9 961, \geq 9 377, \geq 9 599, \geq 81 995, \dots \end{matrix}

Beispiel 1:

An der 13. Stelle obiger Liste steht die Zahl

32 021

. Die größte minimale (PRP-)Primzahl zur Basis

b = 13

hat also

32 021

Stellen.

Beispiel 2:

An der 26. Stelle obiger Liste steht der Eintrag

\geq 8 773

. Die größte minimale (PRP-)Primzahl zur Basis

b = 26

hat also

8 773

Stellen, es gibt aber noch ungelöste Fälle, die mehr Stellen haben.

Die größten minimalen (zum Teil PRP-) Primzahlen bei gegebener Basis $b = 2, 3, \dots$ sind die folgenden, wenn man sie im Dezimalsystem schreibt:

\begin{matrix} 3, 13, 5, 3 121, 5 209, 2 801, 76 695 841, 811, 66 600 049, 29 156 193 474 041 220 857 161 146 715 104 735 751 776 055 777, 388 177 921, 1 3^{32 020} \cdot 8 + 183, \\ 105 424 857 819 287 798 806 418 819 113 233 738 918 727 566 030 978 473 259 776 662 287 591 943 095 417 282 958 456 246 916 612 161, \\ 436 635 814 641 280 043 127 962 407 363 407 208 906 111 673 434 962 498 607 709 751 248 805 460 292 422 544 779 495 998 033 626 489 944 124 062 146 459 306 989 397 233, \\ 1 6^{3 544} \cdot 9 + 145, \geq (1 7^{111 333} \cdot 73 - 9) / 16, 249 069 897 374 447 078 426 903 207 266 791 381 270 529, \geq (1 9^{110 984} \cdot 904 - 1) / 3, \\ (2 0^{449} \cdot 16 - 2 809) / 19, \geq (2 1^{479 149} \cdot 51 - 1 243) / 4, 2 2^{763} \cdot 20 + 7 041, (2 3^{800 873} \cdot 106 - 7) / 11, \\ 973 767 003 942 195 520 947 294 504 280 890 002 680 537 875 404 412 883 659 428 819 153 939 518 991 719 953 852 457 999 342 229 586 282 557 076 411 687 300 474 817 686 178 175 693 329, \\ \geq (2 5^{136 966} \cdot 37 + 63) / 4, \geq (2 6^{8773} \cdot 22 + 53) / 25, \geq 2 7^{109 005} \cdot 10 + 697, \geq (2 8^{94 536} \cdot 6 092 - 143) / 9, \geq 2 9^{174 239} \cdot 24 + 13 361, 3 0^{1 023} \cdot 12 + 1, \\ \geq (3 1^{9 894} \cdot 4 187 - 5) / 6, \geq (3 2^{9 749} \cdot 898 - 309) / 31, \geq (3 3^{9 961} \cdot 21 + 7 723) / 32, \geq 3 4^{9 375} \cdot 1 048 + 27, \geq (3 5^{9 597} \cdot 13 456 - 9) / 17, \geq (3 6^{81 995} \cdot 5 + 821) / 7, \dots \end{matrix}

Beispiel:

An der 12. Stelle obiger Liste steht die Zahl

388 177 921

. Tatsächlich ist die größte minimale Primzahl zur Basis

12

die Zahl

A A 000 00 1_{12} = \underline{10} \cdot 1 2^{7} + \underline{10} \cdot 1 2^{6} + \underline{1} \cdot 1 2^{0} = 388 177 92 1_{10}

.

Verallgemeinerungen

Es gibt genau 32 zusammengesetzte Zahlen im Dezimalsystem, die aus Ziffern bestehen, deren Teilfolgen keine weiteren zusammengesetzten Zahlen ergeben:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 20, 21, 22, 25, 27, 30, 32, 33, 35, 50, 51, 52, 55, 57, 70, 72, 75, 77, 111, 117, 171, 371, 711, 713, 731

(Vorlage:OEIS)

Beispiel:

Aus der Zahl

731

kann man die Zahlen

1, 3, 7, 31, 71

und

73

machen, die alle nicht zusammengesetzt sind. Diese Zahlen sind somit das genaue Gegenteil der minimalen Primzahlen.

Es gibt im Dezimalsystem genau 146 Primzahlen $p \equiv 1 (\mod 4)$ (also der Form $p = 4 k + 1$ mit $k \in ℕ$ ), die aus Ziffern bestehen, deren Teilfolgen im Dezimalsystem keine weiteren Primzahlen der Form $p \equiv 1 (\mod 4)$ ergeben:

\begin{matrix} 5, 13, 17, 29, 37, 41, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 149, 181, 233, 277, 281, 349, 409, 433, 449, \\ 677, 701, 709, 769, 821, 877, 881, 1 669, 2 221, 3 001, 3 121, 3 169, 3 221, 3 301, 3 833, \\ 4 969, 4 993, 6 469, 6 833, 6 949, 7 121, 7 477, 7 949, 9 001, 9 049, 9 221, 9 649, 9 833, \dots, \\ 8 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 833 \end{matrix}

(Vorlage:OEIS)

Beispiel:

Aus der Primzahl

3 169

kann man die Zahlen

1, 3, 6, 9, 16, 19, 31, 36, 39, 69, 169, 316, 319

und

369

machen, die alle keine Primzahlen der Form

p \equiv 1 (\mod 4)

sind.

Es gibt im Dezimalsystem genau 113 Primzahlen $p \equiv 3 (\mod 4)$ (also der Form $p = 4 k + 3$ mit $k \in ℕ$ ), die aus Ziffern bestehen, deren Teilfolgen im Dezimalsystem keine weiteren Primzahlen der Form $p \equiv 3 (\mod 4)$ ergeben (Vorlage:OEIS):

\begin{matrix} 3, 7, 11, 19, 59, 251, 491, 499, 691, 991, 2 099, 2 699, 2 999, 4 051, 4 451, 4 651, 5 051, 5 651, 5 851, 6 299, 6 451, 6 551, 6 899, 8 291, 8 699, 8 951, \\ 8 999, 9 551, 9 851, 22 091, 22 291, 66 851, 80 051, 80 651, 84 551, 85 451, 86 851, 88 651, 92 899, 98 299, 98 899, \dots, (1 0^{19 153} \cdot 2 + 691) / 9 \end{matrix}

Beispiel:

Aus der Primzahl

4051

kann man die Zahlen

0, 1, 4, 5, 01, 05, 40, 41, 45, 51, 051, 401, 405

und

451

machen, die allesamt keine Primzahlen der Form

p \equiv 3 (\mod 4)

sind.

Die Anzahl der minimalen zusammengesetzten Zahlen bei gegebener Basis $b = 2, 3, \dots$ sind die folgenden:^[18]

3, 4, 9, 10, 19, 18, 26, 28, 32, 32, 46, 43, 52, 54, 60, 60, 95, 77, 87, 90, 94, 97, 137, 117, 111, 115, 131, 123, 207, 147, 160, 163, 201, 169, 216, \dots

Die Stellenanzahl der größten minimalen zusammengesetzten Zahlen bei gegebener Basis $b = 2, 3, \dots$ sind die folgenden:^[18]

4, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 2, 4, \dots

Die größten minimalen zusammengesetzten Zahlen bei gegebener Basis sind die folgenden, wenn man sie im Dezimalsystem schreibt:^[18]

\begin{matrix} 15, 9, 21, 27, 475, 49, 477, 70, 731, 123, 8797, 169, 1 529, 208, 2 899, 291, 99 491, 361, 5 423, 418, 9 275, \\ 529, 30 995, 598, 15 645, 644, 18 511, 843, 795 037, 961, 23 779, 1054, 34 311, 1 116, 56 129, \dots \end{matrix}

Siehe auch

Einzelnachweise

↑ ^1,0 ^1,1 Curtis Bright: Minimale Primzahlen und ungelöste Fälle („Familien“) mit Basen von 2 bis 30. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ Curtis Bright, Jeffrey Shallit, Raymond Devillers: Minimal Elements for the Prime Numbers. (PDF; 0,3 MB). In: cs.uwaterloo.ca. University of Waterloo, Université libre de Bruxelles, 7. Dezember 2016, abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ ^3,0 ^3,1 Vorlage:Internetquelle
↑ Curtis Bright: Für die Basis $b = 17$ gibt es 1.279 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: F1{9}. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ Curtis Bright: Für die Basis $b = 19$ gibt es 3.462 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: EE1{6}. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ Curtis Bright: Für die Basis $b = 21$ gibt es 2.600 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: G{0}FK. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ Curtis Bright: Für die Basis $b = 25$ gibt es 17.597 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 12 ungelöste Fälle. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ Curtis Bright: Für die Basis $b = 26$ gibt es 5.662 bekannte minimale Primzahlen und zwei ungelöste Fälle: {A}6F und {I}GL. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ Curtis Bright: Für die Basis $b = 27$ gibt es 17.210 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 5 ungelöste Fälle. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ Curtis Bright: Für die Basis $b = 28$ gibt es 5.783 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: O{A}F. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ Curtis Bright: Für die Basis $b = 29$ gibt es 57.283 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 14 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ RaymondDevillers: Für die Basis $b = 31$ gibt es 79.182 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 24 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ RaymondDevillers: Für die Basis $b = 32$ gibt es 45.205 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 78 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ RaymondDevillers: Für die Basis $b = 33$ gibt es 57.676 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 33 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ RaymondDevillers: Für die Basis $b = 34$ gibt es 56.457 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 33 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ RaymondDevillers: Für die Basis $b = 35$ gibt es 182.378 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 15 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ RaymondDevillers: Für die Basis $b = 36$ gibt es 6.296 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: O{L}Z. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ ^18,0 ^18,1 ^18,2 Vorlage:Internetquelle

Weblinks

Vorlage:Internetquelle

Curtis Bright: Minimale Primzahlen und ungelöste Fälle („Familien“) mit Basen von 2 bis 30. In: Github.com.
RaymondDevillers: Minimale Primzahlen und ungelöste Familien mit Basen von 28 bis 50. In: Github.com.

Vorlage:Navigationsleiste Primzahlklassen

[Basis2bis30-1] 1,0 ^1,1 Curtis Bright: Minimale Primzahlen und ungelöste Fälle („Familien“) mit Basen von 2 bis 30. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[2] Curtis Bright, Jeffrey Shallit, Raymond Devillers: Minimal Elements for the Prime Numbers. (PDF; 0,3 MB). In: cs.uwaterloo.ca. University of Waterloo, Université libre de Bruxelles, 7. Dezember 2016, abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[Waterloo15-3] 3,0 ^3,1 Vorlage:Internetquelle

[4] Curtis Bright: Für die Basis $b = 17$ gibt es 1.279 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: F1{9}. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[5] Curtis Bright: Für die Basis $b = 19$ gibt es 3.462 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: EE1{6}. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[6] Curtis Bright: Für die Basis $b = 21$ gibt es 2.600 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: G{0}FK. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[7] Curtis Bright: Für die Basis $b = 25$ gibt es 17.597 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 12 ungelöste Fälle. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[8] Curtis Bright: Für die Basis $b = 26$ gibt es 5.662 bekannte minimale Primzahlen und zwei ungelöste Fälle: {A}6F und {I}GL. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[9] Curtis Bright: Für die Basis $b = 27$ gibt es 17.210 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 5 ungelöste Fälle. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[10] Curtis Bright: Für die Basis $b = 28$ gibt es 5.783 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: O{A}F. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[11] Curtis Bright: Für die Basis $b = 29$ gibt es 57.283 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 14 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[12] RaymondDevillers: Für die Basis $b = 31$ gibt es 79.182 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 24 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[13] RaymondDevillers: Für die Basis $b = 32$ gibt es 45.205 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 78 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[14] RaymondDevillers: Für die Basis $b = 33$ gibt es 57.676 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 33 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[15] RaymondDevillers: Für die Basis $b = 34$ gibt es 56.457 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 33 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[16] RaymondDevillers: Für die Basis $b = 35$ gibt es 182.378 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 15 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[17] RaymondDevillers: Für die Basis $b = 36$ gibt es 6.296 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: O{L}Z. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[Waterloo20-18] 18,0 ^18,1 ^18,2 Vorlage:Internetquelle

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