Milstein-Verfahren

Das Milstein-Verfahren der stochastischen Analysis bezeichnet eine Methode für die numerische Lösung von stochastischen Differentialgleichungen (SDGL), benannt nach dem russischen Mathematiker Grigori Noichowitsch Milstein (Staatliche Gorki-Universität des Uralgebiets).

Algorithmus

Betrachte die Itō-SDGL

$\mathrm{d}{X}_t=a(X_t)\mathrm{d}t+b(X_t)\mathrm{d}{W}_t,$

mit Anfangsbedingung $X_0=x_0$, wobei $W_t$ den Wiener-Prozess bezeichnet. Soll eine Lösung auf dem Intervall $[0,T]$ gefunden werden, so erhält man durch das Milstein-Verfahren eine Approximation $Y$ für die wahre Lösung $X$ auf einem äquidistanten Gitter:

• Zerlege das Intervall $[0,T]$ in $N$ gleich lange Teilintervalle der Länge $\delta >0$:

$0={\tau }_0<{\tau }_1<\dots <{\tau }_N=T$ und $\delta =\frac{T}{N}$.

• Setze $Y_0:=x_0$.

• Definiere $Y_{n+1}$ für $0\le n<N$ durch

$Y_{n+1}:=Y_n+a(Y_n)\delta +b(Y_n)\mathrm{\Delta }{W}_n+\frac{1}{2}b(Y_n)b^{\prime }(Y_n)((\mathrm{\Delta }{W}_n{)}^2-\delta ),$

wobei

$\mathrm{\Delta }{W}_n=W_{{\tau }_{n+1}}-W_{{\tau }_n}$

und $b^{\prime }$ die Ableitung von $b(x)$ bezüglich $x$ ist. Beachte, dass die Zufallsvariablen $\mathrm{\Delta }{W}_n$ unabhängig normalverteilt sind mit Erwartungswert 0 und Varianz $\delta$.

Konvergenz

Mit den obigen Bezeichnungen gilt $E[|Y_n-X({\tau }_n)|]=\text{o}(\delta )$ für $\delta \to 0$ und alle $n=0,...,N$, weshalb man von Konvergenz erster Ordnung spricht. $\text{o}$ ist dabei ein Landau-Symbol.

Siehe auch

• Euler-Maruyama-Verfahren

Literatur

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