Millertheorem

Zweipol-Schaltbild

Das Millertheorem, benannt nach John Milton Miller, behandelt die Zerlegung von Impedanzen in elektrischen Netzen. Gibt es zwei Netze (Zweipole) die über eine reale Impedanz Z verbunden sind, so kann diese Impedanz virtuell so zerlegt werden, dass beide Netze getrennt betrachtet werden können. Das Millertheorem ist die Verallgemeinerung des Millereffekts.

Die Zerlegung in Z₁ und Z₂ ist dann korrekt, wenn beide Netze nach der Zerlegung die gleichen Impedanzen sehen wie vorher.

Die beiden Spannungen sind über die Verstärkung

$M=\frac{U_2}{U_1}$

verknüpft, womit sich dann für die zerlegten Impedanzen Z₁ und Z₂:

$Z_1=Z\frac{1}{1-M}$

$Z_2=Z\frac{M}{M-1}$

ergibt.

Zu beachten ist, dass bei einer Verstärkung M größer eins die Impedanz Z₁ negativ ist, wenn Z positiv ist. Bei einem invertierenden Verstärker M kleiner minus −1 verringert sich die Impedanz Z₁ im Vergleich zu Z deutlich.

Herleitung

Die Spannung U_Z über die Impedanz Z ergibt sich aus der Differenz der Klemmenspannungen, wobei die Substitution durch M die aufgeführte Umwandlung ergibt.

$I=\frac{U_Z}{Z}=\frac{U_1-U_2}{Z}=\frac{U_1}{Z}(1-\frac{U_2}{U_1})=\frac{U_1}{Z}(1-M)$

Gleichzeitig gilt für die „gesehene“ Impedanz Z₁:

$I=I_1=\frac{U_1}{Z_1}$

Durch Gleichsetzen folgt:

$\frac{U_1}{Z_1}=\frac{U_1}{Z}(1-M)$

und durch Äquivalenzumformung ergibt sich schließlich:

$Z_1=\frac{Z}{1-M}$.

Analog gilt für die „gesehene“ Impedanz Z₂:

$I=\frac{U_Z}{Z}=\frac{U_1-U_2}{Z}=\frac{U_2}{Z}(\frac{U_1}{U_2}-1)=\frac{U_2}{Z}(\frac{1}{M}-1)=\frac{U_2}{Z}\frac{1}{M}(1-M)$

$I=-1\cdot I_2=-1\cdot \frac{U_2}{Z_2}$

$-1\cdot \frac{U_2}{Z_2}=\frac{U_2}{Z}\frac{(1-M)}{M}$

$Z_2=Z\frac{M}{M-1}$

Literatur

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