Metzler-Matrix

Eine Metzler-Matrix ist eine Matrix, deren Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen allesamt nichtnegative Werte besitzen.

${\mathrm{\forall }}_{i\ne j}{x}_{ij}\ge 0.$

Namensgeber dieser Matrizen ist der amerikanische Ökonom Lloyd Metzler. Andere Bezeichnungen sind quasipositive Matrix oder wesentlich-nichtnegative Matrix.

Metzler-Matrizen treten unter anderem in der Stabilitätsanalyse retardierter Differentialgleichungen und in positiv linearen dynamischen Systemen auf.

Definition und Terminologie

Eine Metzler-Matrix $A$ erfüllt die Bedingung

$A=(a_{ij});a_{ij}\ge 0,i\ne j.$

Eigenschaften

Das Matrixexponential einer Metzler-Matrix ist eine nichtnegative Matrix. Das kann man so veranschaulichen, dass die erzeugenden Matrizen eines zeit-kontinuierlichen Markov-Prozesses immer Metzler-Matrizen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen immer positiv sind.

Eine Metzler-Matrix hat mindestens einen Eigenvektor im Orthanten $\mathrm{\Omega }=\{(x_1,x_2,\dots ,x_d)\in {ℝ}^d\mid \mathrm{\forall }i=1,\dots ,d:0\le x_i\}.$

Relevante Sätze

• Satz von Perron-Frobenius