Metabolischer quadratischer Raum

In der Mathematik sind metabolische quadratische Räume ein Begriff aus der Algebra, spezieller der Theorie quadratischer Formen.

Definition

Ein quadratischer Raum $(V,q)$ heißt metabolisch, wenn es einen Unterraum $U\subset V$ mit $U=U^{\perp }$ gibt.

Beispiel: die hyperbolische Ebene

Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\mathrm{char}(K)\ne 2$. Der quadratische Raum $(V,q)$ mit $V=K^2$ und $q(x,y)=xy$ (oder äquivalent $q(x,y)=x^2-y^2$) heißt hyperbolische Ebene (nicht zu verwechseln mit der hyperbolischen Ebene der hyperbolischen Geometrie).

Klassifikation

Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\mathrm{char}(K)\ne 2$. Dann ist jeder metabolische quadratische Raum eine direkte Summe hyperbolischer Ebenen.

Literatur

• John Milnor, Dale Husemöller: Symmetric bilinear forms. Springer, 1973. ISBN 3-540-06009-X