Mehrwertige Abhängigkeit

Vorlage:Belege Eine mehrwertige Abhängigkeit (Vorlage:EnS) $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ beschreibt die Abhängigkeit einer Menge von Attributen $\beta$ von einer Menge aus Attributen $\alpha$.

Definition und Erläuterung

Im Folgenden repräsentiere $t[\alpha ]$ alle Attribute (Spalten) $\alpha$ des Tupels (Zeile) $t$ dar. Eine mehrwertige Abhängigkeit $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ zwischen Attributen einer Relation $R$ liegt vor, wenn gilt:

Für zwei Tupel $t_1$ und $t_2$ mit $t_1[\alpha ]=t_2[\alpha ]$ existieren in jeder zulässigen Instanz von $R$ stets zwei weitere Tupel $t_3$ und $t_4$ mit:

$\begin{array}{c}{t}_1[\alpha ]=t_2[\alpha ]=t_3[\alpha ]=t_4[\alpha ]\\ t_1[\beta ]=t_3[\beta ]\\ t_2[\beta ]=t_4[\beta ]\\ t_1[R\setminus (\alpha \cup \beta )]=t_4[R\setminus (\alpha \cup \beta )]\\ t_2[R\setminus (\alpha \cup \beta )]=t_3[R\setminus (\alpha \cup \beta )]\end{array}$

Anschaulich ergibt sich daraus:

$\begin{array}{cccc}\text{Tupel}& \alpha & \beta & R\setminus (\alpha \cup \beta )\\ t_1& a_1..a_n& b_1..b_m& d_1..d_k\\ t_2& a_1..a_n& c_1..c_m& e_1..e_k\\ t_3& a_1..a_n& b_1..b_m& e_1..e_k\\ t_4& a_1..a_n& c_1..c_m& d_1..d_k\end{array}$

Mehrwertige Abhängigkeiten sind trivial, falls $\beta \subseteq \alpha$ oder $\alpha \cup \beta =R$.

Hüllenbildung

Im Zusammenhang mit der Normalisierung von Datenbanken wird oftmals die Menge aller von mehrwertigen Abhängigkeiten implizierten Abhängigkeiten benötigt. Ausgangspunkt ist die Menge $D$ bestehend aus funktionalen Abhängigkeiten $FD$ und mehrwertigen Abhängigkeiten $MVD$. Ziel ist die Bestimmung der Hülle $D^{+}$. Analog zu den Armstrong-Axiomen zur Erweiterung der funktionalen Abhängigkeiten werden hier nachfolgende Axiome angewendet:

1. Reflexivität, Erweiterung und Transitivität für funktionale Abhängigkeiten
2. Wiederholung: Falls $\alpha \to \beta$, dann auch $\alpha \twoheadrightarrow \beta$
3. Komplement: Zu jedem $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ existiert auch $\alpha \twoheadrightarrow R\setminus \{\alpha \cup \beta \}$
4. Mehrwertige Erweiterung: Gelte $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und sei $\gamma \subseteq R$ sowie $\delta \subseteq \gamma$, dann gilt auch $\alpha \gamma \twoheadrightarrow \beta \delta$
5. Mehrwertige Transitivität: Gilt $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und $\beta \twoheadrightarrow \gamma$, dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \gamma \setminus \beta$
6. Verschmelzung: Gilt $\alpha \twoheadrightarrow \beta$, $\gamma \subseteq \beta$ und existiert ein $\delta$ mit $\delta \subseteq R$, $\gamma \cap \delta =\varnothing$ und $\delta \to \gamma$, dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \gamma$

Auch hier helfen einige weitere abgeleitete Regeln:

1. Mehrwertige Vereinigung: Wenn $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und $\alpha \twoheadrightarrow \gamma$, dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \beta \gamma$
2. Durchschnitt: Wenn $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und $\alpha \twoheadrightarrow \gamma$, dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \beta \cap \gamma$
3. Differenz: Wenn $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und $\alpha \twoheadrightarrow \gamma$, dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \beta \setminus \gamma$ bzw. $\alpha \twoheadrightarrow \gamma \setminus \beta$