Maximin-Test

Vorlage:Belege Ein Maximin-Test ist ein spezieller statistischer Test in der Testtheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Anschaulich ist ein Maximin-Test ein Test, bei dem die höchstmögliche Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art kleiner ist als die jedes weiteren Tests zu einem vorgegebenen Niveau. Vorteil von Maximin-Tests im Vergleich zu beispielsweise gleichmäßig besten Tests ist, dass erstere bereits unter deutlich schwächeren Zusatzannahmen existieren und somit ein handlicheres Optimalitätskriterium liefern.

Definition

Gegeben sei ein (nicht notwendigerweise parametrisches) statistisches Modell $(𝒳,𝒜,(P_{\vartheta }{)}_{\vartheta \in \mathrm{\Theta }})$ sowie eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge $\mathrm{\Theta }$ in Nullhypothese ${\mathrm{\Theta }}_0$ und Alternative ${\mathrm{\Theta }}_1$.

Sei ${𝒯}_{\alpha }$ die Menge aller statistischen Tests zum Niveau $\alpha$. Ein $\psi \in {𝒯}_{\alpha }$ heißt ein Maximin-Test zum Niveau $\alpha$, wenn

$\underset{\vartheta \in {\mathrm{\Theta }}_1}{\inf }{\mathrm{E}}_{\vartheta }\psi =\underset{\varphi \in {𝒯}_{\alpha }}{\sup }\underset{\vartheta \in {\mathrm{\Theta }}_1}{\inf }{\mathrm{E}}_{\vartheta }\varphi$

gilt.

Interpretation

Für fixiertes $\vartheta \in {\mathrm{\Theta }}_1$ ist ${\mathrm{E}}_{\vartheta }\psi$ die Trennschärfe des Tests $\psi$ an der Stelle $\vartheta$. Somit ist

$\underset{\vartheta \in {\mathrm{\Theta }}_1}{\inf }{\mathrm{E}}_{\vartheta }\psi$

die untere Schranke der Trennschärfe des Tests $\psi$ und somit die obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zweiter Art zu machen.

Somit ist ein Maximin-Test ein Test, bei dem diese Worst-Case-Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art kleiner oder gleich ist als bei jedem anderen Test.

Existenz

Die Existenz von Maximin-Tests lässt sich unter recht schwachen Voraussetzungen zeigen. Zentrales Hilfsmittel hierzu ist die schwache Konvergenz und die Schwach-*-Konvergenz in $L^1$ und $L^{\mathrm{\infty }}$.

Zentrale Aussage ist, dass wenn ein σ-endliches Maß $\mu$ existiert, so dass $(P_{\vartheta }{)}_{\vartheta \in {\mathrm{\Theta }}_0}$ oder $(P_{\vartheta }{)}_{\vartheta \in {\mathrm{\Theta }}_1}$ von diesem Maß dominiert werden, ein Maximin-Test zum Niveau $\alpha$ existiert.

Literatur

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