Maximales Tensorprodukt

Im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist das maximale Tensorprodukt von C*-Algebren eine Konstruktion, mit der man aus zwei C*-Algebren $A$ und $B$ eine neue mit $A{\otimes }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}B$ bezeichnete C*-Algebra erhält. Es handelt sich dabei um die Vervollständigung des mit einer geeigneten Norm versehenen algebraischen Tensorproduktes aus $A$ und $B$. Die unten vorgestellte Konstruktion geht auf A. Guichardet zurück.

Konstruktion

Es seien $A$ und $B$ zwei C*-Algebren. Eine C*-Halborm auf dem algebraischen Tensorprodukt $A\odot B$ ist eine Halbnorm $\alpha$, so dass

• $\alpha (st)\le \alpha (s)\alpha (t)$ für alle $s,t\in A\odot B$
• $\alpha (s^{*}s)=\alpha (s{)}^2$ für alle $s\in A\odot B$

Man kann zeigen, dass $\alpha (a\otimes b)\le \Vert a\Vert \Vert b\Vert$ für alle $a\in A$ und $b\in B$. Für ein Element $s=\sum _{i=1}^n{a}_i\otimes b_i\in A\odot B$ folgt daher $\alpha (s)\le \sum _{i=1}^n\Vert a_i\Vert \Vert b_i\Vert$ für jede C*-Halbnorm. Deshalb ist $\mu (s):=\underset{\alpha }{\sup }\alpha (s)$, wobei $\alpha$ alle C*-Halbnormen durchläuft, endlich, und man bestätigt leicht, dass $\mu$ eine C*-Halbnorm ist, und nach Konstruktion die größte auf $A\odot B$. Es handelt sich sogar um eine Norm, denn unter den C*-Halbnormen befindet sich die räumliche C*-Norm.

Die Vervollständigung von $A\odot B$ bezüglich dieser maximalen C*-Norm heißt das maximale Tensorprodukt aus $A$ und $B$ und wird mit $A{\otimes }_{\mu }B$ bezeichnet, andere Autoren schreiben dafür $A{\otimes }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}B$ .

Eigenschaften

Das maximale Tensorprodukt hat folgende nützliche Eigenschaft:

Es seien $A$, $B$ und $C$ C*-Algebren und $\phi :A\to C$ sowie $\psi :B\to C$ zwei *-Homomorphismen mit vertauschenden Bildern, das heißt $\phi (a)\psi (b)=\psi (b)\phi (a)$ für alle $a\in A$ und $b\in B$. Dann gibt es genau einen *-Homomorphismus $\pi :A{\otimes }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}B\to C$ mit $\pi (a\otimes b)=\phi (a)\psi (b)$ für alle $a\in A$ und $b\in B$.

Sind $A$ und $B$ C*-Algebren, so heißt ein Paar $(\phi ,\psi )$ ein vertauschendes Paar von Darstellungen von $(A,B)$, falls $\phi :A\to L(H)$ und $\psi :B\to L(H)$ Hilbertraum-Darstellungen auf demselben Hilbertraum $H$ sind und $\phi (a)\psi (b)=\psi (b)\phi (a)$ für alle $a\in A$ und $b\in B$ gilt. Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Formel für die maximale C*-Norm aufstellen:

Für zwei C*-Algebren $A$ und $B$ und $s=\sum _{j=1}^n{a}_j\otimes b_j$ aus dem algebraischen Tensorprodukt $A\odot B$ gilt

$\mu (s)=\sup \{\Vert \sum _{j=1}^n\phi (a_j)\psi (b_j)\Vert ;(\phi ,\psi )\text{ vertauschendes Paar von Darstellungen von }(A,B)\}.$

Siehe auch

• Räumliches Tensorprodukt
• Nukleare C*-Algebra

Literatur

• Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9
• R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1