Mathieu-Gruppe M22

In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Mathieu-Gruppe M₂₂ eine einfache Gruppe mit 443520 Elementen. Sie gehörte zu den ersten fünf im 19. Jahrhundert entdeckten sporadischen Gruppen, die heute als Mathieu-Gruppen bezeichnet werden. Namensgeber ist der französische Mathematiker Émile Léonard Mathieu.

Konstruktion

Sei $F_4=\{0,1,a,a^{-1}\}$ der Körper mit 4 Elementen und $P_2(4)$ die projektive Ebene über $F_4$.

Wir definieren ein System $M$,

• dessen “Punkte” die Punkte aus $P_2(4)$ und zusätzlich ein Punkt $\mathrm{\infty }$ sind,
• dessen “Standardblöcke” die um $\mathrm{\infty }$ ergänzten Geraden aus $P_2(4)$ sind,
• dessen “Nichtstandardblöcke” die Bilder des Ovals $O=\{\overline{x_1},\overline{x_2},\overline{x_3},\overline{x_1+x_2+x_3},\overline{x_1+a{x}_2+a^{-1}{x}_3},\overline{x_1+a^{-1}{x}_2+a{x}_3}\}$ unter der Wirkung der projektiven speziellen Gruppe $PSL(3,4)$ sind.

Die Menge der Punkte wird mit $M^0$ bezeichnet, die Menge der Blöcke (standard oder nichtstandard) mit $M^1$. Als Automorphismus von $M$ bezeichnet man Permutationen von $M^0$, die Mengen aus $M^1$ auf Mengen aus $M^1$ abbilden. Ein gerader Automorphismus ist ein Automorphismus, der eine gerade Permutation von $M^0$ ist.

Die Mathieu-Gruppe $M_{22}$ ist die Gruppe der geraden Automorphismen von $M$.

Sie wirkt 3-transitiv auf $M^0$ und transitiv auf $M^1$.

Literatur

• Oleg Bogopolski: Introduction to Group Theory. EMS Textbooks in Mathematics. Zürich: European Mathematical Society 2008, ISBN 978-3-03719-041-8/hbk