Margulis-Ruelle-Ungleichung

In der mathematischen Theorie dynamischer Systeme besagt die Margulis-Ruelle-Ungleichung, dass die Entropie eines dynamischen Systems nach oben durch die Summe seiner positiven Lyapunov-Exponenten abgeschätzt werden kann.

Mathematische Formulierung

Sei $f:M\to M$ ein $C^{1+\alpha }$-Diffeomorphismus einer kompakten Mannigfaltigkeit mit einem invarianten Wahrscheinlichkeitsmaß $\nu$. Dann gilt für die Kolmogorow-Sinai-Entropie $h_{\nu }(f)$ die Ungleichung

$h_{\nu }(f)\le \underset{M}{\int }\sum _{{\lambda }_i(x)>0}{\lambda }_i(x)d\nu (x)$,

wobei ${\lambda }_1(x),\dots ,{\lambda }_n(x)$ die Ljapunow-Exponenten im Punkt $x\in M$ sind und aber auf der rechten Seite jeweils nur über die in $x$ positiven Ljapunow-Exponenten summiert wird.

Für glatte invariante Wahrscheinlichkeitsmaße gilt die stärkere Entropieformel von Pesin:

$h_{\nu }(f)=\underset{M}{\int }\sum _{{\lambda }_i(x)>0}{\lambda }_i(x)d\nu (x)$.

Für nicht-glatte invariante Wahrscheinlichkeitsmaße kann jedoch eine strikte Ungleichung gelten. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn die nichtwandernde Menge endlich und hyperbolisch ist. Präzise Bedingungen, wann in der Margulis-Ruelle-Ungleichung Gleichheit gilt, gibt der Satz von Ledrappier-Young.

Literatur

• Min Quian, Jian-Sheng Xie, Shu Zhu: Smooth ergodic theory for endomorphisms, Lecture Notes in Mathematics 1978, Springer Verlag, 2009.

Weblinks

• Pesin entropy formula (Scholarpedia)