Lp-Kohomologie

In der Mathematik ist $L^p$-Kohomologie eine Kohomologietheorie für Simplizialkomplexe oder glatte Mannigfaltigkeiten. Sie wird vor allem verwendet, um die "Geometrie im Unendlichen" zu untersuchen.

Simpliziale L^p-Kohomologie

Sei $X$ ein endlichdimensionaler Simplizialkomplex beschränkter Geometrie (d. h. es gibt ein $K>0$, so dass jeder Simplex höchstens $K$ Nachbarn hat). Wir statten $X$ mit der Längenmetrik aus, in der jeder Simplex isometrisch zum Standardsimplex ist. Für $k\in \mathbb{N}$ sei $X_k$ die Menge der $k$-Simplizes von $X$. Definiere die $l_p$-Koketten von $X$ durch

$C_p^k(X):=\{f:X_k\to ℝ|\sum _{\sigma \in X_k}|f(\sigma ){|}^p<\mathrm{\infty }\}$.

Sie bilden mit der $L^p$-Norm einen topologischen Vektorraum.

Der Korand-Operator ${\delta }_k:C_p^k(X)\to C_p^{k+1}(X)$ wird definiert durch $\delta f(\sigma ):=f(\partial \sigma )$ für alle $\sigma \in X_{k+1}$. Dann definiert man die $L^p$-Kohomologie von $X$ durch

$l_p{H}^k(X):=\ker ({\delta }_k)/\mathrm{im}({\delta }_{k-1})$

und die reduzierte $L^p$-Kohomologie durch

$l_p\stackrel{k}{\stackrel{‾}{H}}(X):=\ker ({\delta }_k)/\overline{\mathrm{im}({\delta }_{k-1})}$.

Beide sind topologische Vektorräume mit der von der $L^p$-Norm induzierten Topologie.

Eigenschaften

Invarianz unter Quasi-Isometrien

Sei $F:X\to Y$ eine Quasi-Isometrie zwischen gleichmäßig kontrahierbaren Simplizialkomplexen, dann sind $F^{*}:l_p{H}^k(Y)\to l_p{H}^k(X)$ und $\stackrel{*}{\stackrel{‾}{F}}:l_p\stackrel{k}{\stackrel{‾}{H}}(Y)\to l_p\stackrel{k}{\stackrel{‾}{H}}(X)$ Isomorphismen topologischer Vektorräume. (Ein metrischer Raum heißt gleichmäßig kontrahierbar, wenn es zu jedem $r>0$ ein $R>r$ gibt, so dass jeder $r$-Ball in einem $R$-Ball kontrahierbar ist.)

Geometrische Gruppenwirkungen

Wenn eine Gruppe $\mathrm{\Gamma }$ geometrisch auf einem gleichmäßig kontrahierbaren Simplizialkomplex $X$ wirkt, dann ist

$l_p{H}^{*}(X)=H^{*}(\mathrm{\Gamma },l^p\mathrm{\Gamma })$.

Falls zusätzlich das Zentrum von $\mathrm{\Gamma }$ unendlich ist, gilt $l_p{H}^k(X)=0$ für alle $p$ und $k$. Dies ist insbesondere der Fall für unendliche nilpotente Gruppen.

Dualitäten

Für $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ist die $l_p$-Kohomologie $l_p{H}^{*}(X)$ dual zur $l_q$-Homologie $l_q{H}_{*}(X)$.

Für Riemannsche Mannigfaltigkeiten der Dimension $n$ quasi-isometrisch zu einem Simplizialkomplex beschränkter Geometrie hat man zusätzlich die Poincaré-Dualität $l_p{H}^k(X)=l_p{H}_{n-k}(X)$.

Definition mittels Differentialformen

Für differenzierbare Mannigfaltigkeiten $M$ kann $l_p{H}^k(M)$ äquivalent definiert werden als Quotientenraum der geschlossenen $k$-Formen $\alpha \in L^p$ modulo der Differentiale von $(k-1)$-Formen $\beta \in L^p$ mit $d\beta \in L^p$.

Beispiele

Hyperbolischer Raum

Sei $X$ der $n$-dimensionale hyperbolische Raum. Dann gilt für $p<\frac{n-1}{k}$ oder $p>\frac{n-1}{k-1}$ jeweils $l_p{H}^k(X)=l_p\stackrel{k}{\stackrel{‾}{H}}(X)=0$ und für $\frac{n-1}{k}<p<\frac{n-1}{k-1}$ jeweils $l_p{H}^k(X)=l_p\stackrel{k}{\stackrel{‾}{H}}(X)=0$.

Heintze-Gruppen

Für Heintze-Gruppen $X={ℝ}^n{⋊}_{\alpha }ℝ$ mit $\alpha (t)=diag(e^{{\lambda }_{1}t},\dots ,e^{{\lambda }_{n}t})$ und $0<{\lambda }_1\le \dots \le {\lambda }_n$ gilt $l_p{H}^k(X)=0$ genau dann, wenn $p>\frac{{\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n}{{\lambda }_{n-k}+\dots +{\lambda }_n}$.

Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung

Für eine einfach zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung $-1\le K\le -\delta <0$ ist $l_p{H}^k(X)=0$ für alle $1<p\le 1+\frac{n-k-1}{k}\sqrt{\delta }$.

L^p-Kohomologie von Gruppen

Die L^p-Kohomologie einer topologischen Gruppe $G$ ist definiert als stetige Gruppenkohomologie mit Koeffizienten $l^{p}G$.

Wenn $G$ eigentlich diskontinuierlich auf einem gleichmäßig kontrahierbaren Simplizialkomplex $X$ wirkt, ist $l_p{H}^{*}(G)=l_p{H}^{*}(X)$.

Für Gruppen, die lokal kompakt sind, das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllen und eine eigentliche links-invariante Metrik tragen, ist die L^p-Kohomologie invariant unter Quasi-Isometrien. Insbesondere lässt sich die Berechnung der L^p-Kohomologie einfacher Lie-Gruppen auf die Berechnung der L^p-Kohomologie einer parabolischer Untergruppe zurückführen.

Literatur

• Michail Leonidowitsch Gromow: Asymptotic invariants of infinite groups in "Geometric Group Theory", Cambridge University Press, 1993.

Weblinks

• Pierre Pansu: L^p cohomology