Lokale Grenzwertsätze

Als lokale Grenzwertsätze bezeichnet man gewisse mathematische Sätze, die zu den Grenzwertsätzen der Stochastik gezählt werden. Wie alle dieser Grenzwertsätze untersuchen die lokalen Grenzwertsätze Folgen und Summen von Zufallsvariablen. Im Gegensatz zu diesen verwenden sie aber nicht die klassischen Konvergenzbegriffe der Stochastik wie die Konvergenz in Verteilung, Konvergenz in Wahrscheinlichkeit oder fast sichere Konvergenz, sondern untersuchen die Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen.

Aufgabenstellung

Vorlage:Belege Gegeben sei eine Folge von Zufallsvariablen $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit Verteilungen $P_n$ und Wahrscheinlichkeitsfunktionen oder Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $f_n$. Gesucht ist eine Wahrscheinlichkeits(dichte)funktion $f$ sowie Bedingungen, unter denen

$f_n$ gegen $f$ konvergiert.

Mögliche Probleme sind:

• Im Allgemeinen muss die Grenzfunktion selbst bei Konvergenz in Verteilung der $X_n$ keine Dichtefunktion besitzen.
• Selbst wenn die Zufallsvariablen in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung konvergieren, müssen die Dichten im Allgemeinen nicht konvergieren.

Beispiel: Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace

Vorlage:Belege Ein klassisches Beispiel ist der lokale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace. Ist $p\in (0,1)$, sei $\phi$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Standardnormalverteilung und

$x_n(k)=\frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}$.

Dann ist für beliebige $c>0$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{\forall }k}{|x_n(k)|\le c}}{\max }|\frac{\sqrt{np(1-p)}{\mathrm{Bin}}_{n,p}(\{k\})}{\phi (x_n(k))}-1|=0$.

Hierbei bezeichnet ${\mathrm{Bin}}_{n,p}$ eine Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$, so dass ${\mathrm{Bin}}_{n,p}(\{k\})$ der Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion an einer Stelle $k$ ist.

Weblinks

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Literatur

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