Limesmenge

In der Theorie dynamischer Systeme bezeichnet man als Limesmengen (oder Grenzwertmenge) diejenigen Punkte des Zustandsraums, denen sich Orbits (für positive oder negative Zeit) unendlich oft annähern.

$\omega$-Limesmenge (Grenzzyklus) des Van-der-Pol-Oszillators

Definition

Sei $(T,X,\mathrm{\Phi })$ ein dynamisches System mit $T=\mathbb{Z}$ (diskret) oder $T=ℝ$ (kontinuierlich). T ist meist die Zeit und X der Zustandsraum. Sei $x\in X$ ein Punkt des Zustandsraumes.

Die $\omega$-Limesmenge von $x$ ist

$\omega (x,\mathrm{\Phi }):=\{y\in X:\mathrm{\exists }{t}_n\to \mathrm{\infty },\mathrm{\Phi }(t_n,x)\to y\}$.

Die $\alpha$-Limesmenge von $x$ ist

$\alpha (x,\mathrm{\Phi }):=\{y\in X:\mathrm{\exists }{t}_n\to -\mathrm{\infty },\mathrm{\Phi }(t_n,x)\to y\}$.

Alternativ lassen sich Limesmengen auch wie folgt charakterisieren:

$\omega (x,\mathrm{\Phi })=\bigcap _{n\in T}\overline{\{\mathrm{\Phi }(t,x):t>n\}}$,

$\alpha (x,\mathrm{\Phi })=\bigcap _{n\in T}\overline{\{\mathrm{\Phi }(t,x):t<n\}}$.

Die Limesmengen sind abgeschlossen und invariant unter $\mathrm{\Phi }$. Falls $X$ kompakt ist, sind die Limesmengen nicht leer.

Typen

• Fixpunkt
• Periodischer Orbit
• Grenzzyklus
• Seltsamer Attraktor

Literatur

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